1.实验内容
分别利用牛顿公式和二分法对某一方程(此实验是以开方公式为准，即x2-c=0,在验证时取c=115)进行求解。且对两者的求解结果进行比较，比较两者的迭代次数和精度。
分别编写函数Binary(min,
max, times)和 Newton(x0,
times)实现以上两种方法。实验初始界面：
选择编号进入相应的功能模块进行计算
2.主要函数
1)二分法：
函数参数：(min,max)表示二分区间，
times表示要进行多少次二分。
变量说明：mid
=(min +
max)/2.0，即每次二分后的点。
二分原理：对于给定的方程f(x)=0,在二分区间(min，
max)上,进行如下处理：
a.选择min与max的中点mid；
b.判断f(mid)是否等于0，若是则返回mid;
c.判断f(min)*f(mid)<0,若true,则max=mid;
d.否则min=mid;
f.判断次数是否达到times次，若是完成，若否返回a。
2)牛顿迭代函数
函数参数：x0表示给定的初值，times表示迭代次数；
牛顿迭代：按照牛顿迭代公式
把已知的初始值x0带入等式的右边，得到x1。然后再把x1带入右端得到x2，由于牛顿迭代公式的局部收敛性，当带入一个合适的初始值时，如此下去便能求得精度很高的近似值。
3.实验结果
1)。二分法结果
首先选择编号1进入二分功能模块，系统提示输入下限，即前面说的min,输入后回车，系统提示输入上限，即max，最后系统提示输入二分次数，即times。输入以后的结果如下：
从第9次与第10次对比可以知道，经过10次二分以后达到的精度为4次。
2)。牛顿迭代结果
选择2进入牛顿迭代功能模块，系统提示输入初始值，即前面的x0，接着系统提示输入迭代次数。回车以后的结果：
从4次开始，迭代结果就开始重复了，对比第2次与第3次可知，在相同给定的条件下，即给定初值为x0=10,经过三次牛顿迭代便达到了10为有效数字，可见牛顿迭代的速度要明显快于二分法。
为了与二分法进行平等的对比，这里在以二分的上限max=11来作为牛顿迭代的初始值，得到结果如下，其也是在第3次迭代后便达到了10位有效数字，可见牛顿迭代速度之快。
4.实验分析
牛顿迭代相对于二分法有明显的速度优势，但是二分法比牛顿法有更加重要的性质。对于二分法只要你给定一个足够大的包含解的上下限，一定能够经过有限次二分找到满足精度的解。但是对于牛顿迭代，由于其局部收敛性，当给定的初值远离真实值的时候，可能会发生发散的情况，其求解速度反而比二分要慢。如下这种情况：
二分法：(0.0001，
100)迭代次数为20次
通过最后两次的比较，其达到5位有效数字；
牛顿迭代，初始值x0=0.0001,同样迭代20次
比较最后两次，其达到4位有效数字。
5.实验源码
#include
#include
//#progmma comment(lib, "ws2_32.lib")
void menu();
double Newton(double x0, int times);
double Binary(double min, double max, int times);
//times表迭代次数，求解区间(min, max)
void First();
void Second();
double f(double x); //f(x)
double p(double x);
//f(x)的迭代格式
int main(){
int flag=0;
menu();
printf("\t\t请输入:");
scanf("%d", &flag);
while(flag){
if(flag == 1) {
First();
printf("\t\t----------------------------------------------\n");
}
else if(flag == 2) {
Second();
printf("\t\t----------------------------------------------\n");
}
else printf("\t\t输入错误!\n");
printf("\t\t请继续输入:");
scanf("%d", &flag);
}
printf("\t\tExit successful!\n");
return 0;
}
void menu(){
printf("\t\t---------方程(y = x*x - 115)求根--------------\n");
printf("\t\t
\n");
printf("\t\t
1. 二分法
\n");
printf("\t\t
2. 牛顿迭代
\n");
printf("\t\t
0. 退出
\n");
printf("\t\t----------------------------------------------\n");
}
void First(){
double max=0, min=0, fruit=0;
int times = 0; //迭代次数
printf("\t\t请输入下限：");//min
scanf("%lf", &min);
//这里min是double型数据，所以输入格式应该是%lf，如果按%f输入那么会造成输入错误
printf("\t\t请输入上限：");//max
scanf("%lf", &max);
printf("\t\t请输入二分次数：");//精度e
scanf("%d", ×);
fruit = Binary(min, max, times);
if(fruit == 0)
printf("此内没有解\n");
else
printf("\t\tBinary: .8f\n", fruit); //二分计算
}
double f(double x){
return x * x - 115;
}
double Binary(double min, double max, int
times){
double mid = 0;
int i=0;
//printf("min:%f max:%f\n", min,max);
printf("\n");
printf("\t\t
次数\t 结果\n");
for(i=1; i<=times; i++){
mid = (min + max)/2.0;
if(f(min)*f(mid) < 0)
max = mid;
else if(f(mid) == 0)
return mid;
else
min = mid;
printf("\t\t\t%d \t.8f\n", i, mid);
}
return mid;
}
double Newton(double x0, int times){
int i=0;
//printf("x0:%f times:%d\n", x0, times);
if(x0 == p(x0)) return x0; //如果x0刚好是解，直接返回
//printf("\t\t1 \t.8f\n", x0);
printf("\n");
printf("\t\t
次数\t 结果\n");
for(i=1; i<=times; i++){
x0 = p(x0);
printf("\t\t\t%d \t.8f\n", i, x0);
}
return x0;
}
//y = x*x - 115 的牛顿迭代格式为p(x);
double p(double x){
double fruit=0;
fruit = 0.5 * (x + 115.0/x);
//printf("p \t%f\n", fruit);
return fruit;
}
void Second(){
double x0=0;//x0表示初值
int times=0;//times表迭代次数
printf("\t\t请输入初值：");//x0
scanf("%lf", &x0);
printf("\t\t请输入迭代次数：");//e
scanf("%d", ×);
printf("\t\tNewton: .8f\n", Newton(x0, times));
}
