牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

如果函数 在区间 上连续，并且存在原函数 ，

则

如果函数 区间 上有定义，并且满足以下条件：

（1）在区间 上可积；

（2）在区间 上存在原函数 ；

则

定义一个变上限积分函数 ，让函数 获得增量 ，则对应的函数增量

根据积分中值定理可得，

，（ξ在x与x+Δx之间）

，

所以

，

因为

，所以 ，即

所以

即
　　

因为函数 在区间 上可积，任取区间 的分割

在区间 上任取一点 ，则有

其次，对于分割 ，有

在区间 上对函数 应用拉格朗日中值定理得

其中 因此有

设函数 在矩形区域 上连续，如果存在一个二元函数 ，使得

，

设 D为单连通区域， 与 在区域 D上有连续的一阶偏导数，

若存在一个二元函数 ，使得

在区域 D中任意取两个点 ，则对连接 的任意一条光滑曲线 L，

都有