1.什么是质数？

首先来看质数的概念：

质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）

如上图所示，数字12可以将每4个分成一组，一共3组；而数字11将每4个、每5个、每3个分成一组都无法全部分完，而有剩余，因此将数字11称为质数。

2.如何判断是否为质数？

质数的特点如下：

一个自然数（如1、2、3、4、5、6等）若恰有两个正约数（1及此数本身），则称之为质数。

方法1

根据质数的约数只有1和本身这一特点，可以首先想到最直观的方法。第一种方法就是判断一个数是否能被比它小的数整除。

方法1的时间复杂度是O(n)。

public static boolean isPrime(int n){//n<=3时，质数有2和3if (n <= 3) {return n > 1;}//当n>3时，质数无法被比它小的数整除for(int i = 2; i < n; i++){if (n % i == 0) {return false;}}return true;
}

方法2

当一个数不是质数时，必定存在两个约数，一个大于等于sqrt(n)，另一个小于sqrt(n)。利用这种特性，可以对方法1进行改进，只判断数n能否被小于sqrt(n)的数整除。

方法2的时间复杂度是O(sqrt(n))。

public static boolean isPrime(int n) {if (n <= 3) {return n > 1;}//判断一个数能否被小于sqrt(n)的数整除int sqrt = (int)Math.sqrt(n);for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {if(n % i == 0) {return false;}}return true;
}

方法3

任一偶数一定能分解为2和其他偶数/奇数的积，因此一个数不能被2整除，那么这个数一定不能被其他偶数整除。利用这个特点，可以对方法2进行改进，判断数n能否被小于sqrt(n)的奇数整除。

方法3的时间复杂度是O(sqrt(n)/2)。

public static boolean isPrime(int n) {if (n <= 3) {return n > 1;}//只需判断一个数能否被小于sqrt(n)的奇数整除int sqrt = (int)Math.sqrt(n);for (int i = 3; i <= sqrt; i += 2) {if(n % 2 == 0 || n % i == 0) {return false;}}return true;
}

方法4

质数的分布具有特点，经过证明可以得到，（大于等于5的）质数一定和6的倍数相邻，一定是6x-1或6x-1。利用这种特性。可以对整数进行筛选，只判断那些是6x-1或6x-1的整数是否为质数。

证明过程如下：

令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下： ······6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4······（相邻6个数为一组）

在以上的数字中，6x、6x+2和6x+4是偶数，一定不是质数；6x+3可以分解为3(2x+1)，不是质数，因此质数只能是6x-1和6x+1。

public static boolean isPrime(int n) {if (n <= 3) {return n > 1;}// 只有6x-1和6x+1的数才有可能是质数if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) {return false;}// 判断这些数能否被小于sqrt(n)的奇数整除int sqrt = (int) Math.sqrt(n);for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {return false;}}return true;
}