引言

什么是图嵌入？

我想从上节的deepwalk中已经有一个十分完整的轮廓了，这里引出deepwalk论文中的一张很形象的图（当然，上节的一些实战演练，也将这种嵌入关系进行了模拟与可视化，前文为：）：

总的来说图嵌入技术大致可以分为两种：节点嵌入和图嵌入。当需要对节点进行分类，节点相似度预测，节点分布可视化时一般采用节点的嵌入；当需要在图级别（graph-level）上进行预测或者整个图结构越策，需要将整个图表示为一个向量进行嵌入表示。

图嵌入的好处以及坏处？

图嵌入的好处我认为是可以将图数据转换为低维向量，从而方便进行机器学习、数据挖掘、可视化等任务。图嵌入的坏处是可能会损失图的一些信息，如节点的属性、边的类型、子图的结构等。不同的图嵌入方法有不同的优缺点，需要根据具体的应用场景和需求来选择合适的方法。

以上一篇的deepwalk为例，它的随机游走方式如果是完全随机，那么会出现很多极端情况，比如它就往前迈一步，再回到原点，以及绕着一个方向不改变得走等等，而我们加了$\alpha$系数后，相当于给了一个向心力，让它能尽量以圆的方式运作，但也有坏处，就是更趋向于BFS，而不是DFS了。这里一个很形象的例子，就是数据结构中的链表，一个链表所代表的元素都是未知的，我们如果需要添加元素，那得遍历整条流程线，或者以头尾指针的方式才能达成需求，但随机游走里并没有安排指针，所以某种程度上，不具备泛化能力，过拟合程度比较高。

本节的另一种算法——Node2Vec，算是解决了deepwalk的一些缺点，可以看做是deepwalk的一种扩展，是结合了DFS和BFS随机游走的deepwalk。

Node2Vec

Node2Vec 介绍

DeepWalk可以说给大家带来了全新的思路，其意义远不止实验结果那么简单。理论上，对于任何图数据，或者是由关系型数据抽象出来的图数据，都可以利用DeepWalk得到Embedding，而且算法简单，易于扩展到大规模数据上；更为重要的，这启发了后续的研究者进行了更加深入的研究。

node2vec的作者针对DeepWalk不能用到带权图上的问题，提出了概率游走的策略，并使用AliasSampling进行采样，该算法在之后会尝试讲解，这里主要提及一下它的创新点。

在node2vec之前，deepwalk的游走是完全随机的，虽然也能获取到非常多的信息，但相对而言比较局部，包括deepwalk、line等算法，都是用中间词预测周围词的方式，缺少采样策略，于是node2vec提出了它的随机游走策略公式：

$$P\left(c_i=x\mid c_{i-1}=v\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\pi }_{vx}}{Z}& \text{ if }(v,x)\in E\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

给定一个起始节点 $u$，模拟随机游走的固定长度$l$，上面为下一个节点 $x$ 对于当前节点 $v$ 的条件概率公式，其中，${\pi }_{vx}$ 是未归一化转移概率，$Z$ 是是归一化常数。

为了让随机游走能够反映网络的结构和特征，我们能产生相应的偏置（bias），来控制随机游走，这里引述了一下传统方法的不适用性，比如说最简单的偏置方法是根据边的权重来选择下一个节点，即边越重，选择该边连接概率越大，用 $w_{vx}$ 代表当前节点 $v$ 和 下一节点 $x$的权重，那么此时 $w_{vx}={\pi }_{vx}$ ，但这种策略很显然太空洞与不切实际，所以加入了两个超参数 $p$ 和 $q$ 策略，来控制游走。假设当前随机游走经过边 $(t,v)$ 到达顶点 $v$ 设${\pi }_{vx}=a_{pq}(t,v)\cdot w_{v,x}$，其中$w_{vx}$ 一样是节点 $v$ 和 下一节点 $x$的权重，那另一项系数可写为：

$${\alpha }_{pq}(t,x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p}=& \text{ if }{d}_{tx}=0\\ 1=& \text{ if }{d}_{tx}=1\\ \frac{1}{q}=& \text{ if }{d}_{tx}=2\end{array}$$

$d_{tx}$ 为 当前节点与下一节点的最短路径距离，这里论文中也解释了两个超参数的含义，$q$ 为 In-out parameter ，$p$为 Return parameter ，跟单词表达的意思一样，即 $p$ 控制重复访问刚刚访问过的顶点的概率，而 $q$ 控制控向外还是向内走的概率，而上述公式中还有一个1，可以理解成不动，或者在当前节点徘徊。可能这有点抽象，所以论文中给出了一张图：

这就十分清晰了，这里可以举个例子，当 $p$ 大 $q$ 小时，属于DFS深度优先搜索，节点会朝 $x2、x3$等更远方前进，而反过来，则会朝来时的 $t$ 回退，或者说BFS广度优先搜索，探索周围的区域。

那么到这里，是论文的创新点，将随机游走变成了一种概率游走的方式采样序列，并且对节点的采样也做了相应的优化，即AliasSampling算法。

AliasSampling算法（别名采样算法）

这里参考Alias Method:时间复杂度O(1)的离散采样方法 和 【数学】时间复杂度O(1)的离散采样算法—— Alias method/别名采样方法

首先我举个我认为还算比较贴切的例子，当然可能有点现实。包括我在内，其实对于彩票行业，都是充满了兴趣，每次买完都心生向往，即使过程中被一再剥削，在结果没有开出前都觉得心里有一块着落、期盼，幻想着鱼跃龙门，花开彼岸。因为彩票就是一张纸，一个号码，每个人都觉得权重都是一样的，都有中奖的机会，这就是等概率分布抽样，复杂度为O(1)，但现实往往不是的，有些人位高权重，那自然能让自己的一亿分之一的概率变为十分之一以内，这里考虑多部门利益交互情况，所以，没有关系的普通人权重进一步被缩小，在没有黑手的情况下，全部人加起来可能也才十分之一，如果开奖的号码没有落入这十分之一，那可以说成两个集体，有权利的0.9，没有权的0.1，这就是二项分布抽样，复杂度也可看成是O(1)

上述英文原文中，用的例子我可以理解为红球、白球和篮球，每个有相应的概率，然后进行抽签，经典的古典概型问题。alias method就是把这两种方法结合起来。

假设，初始情况下球的概率分布为：

现在，缩放所有这些矩形，但我们不再使用最大值去进行归一化，而是按照$\frac{1}{N}$来均值归一化， 这里的例子是1/4变为1的概率，即为所有概率乘以N，为：

这时候再画条线，将前两个多余出来的部分填补到后两个框上，即：

而这里需要注意的是，Alias Method一定要保证：每列中最多只放两个事件，即最终呈现的效果应该是这样的：

所以照着这种规则，就能将该算法拆成两部分，一部分是生成Alias Table，该table包括了上面的一系列预处理，另一部就是采样，产生两个随机数，具体步骤如下：

生成Alias Table的步骤是：

1. 根据要求的概率分布计算累积分布，映射到[0,1]的线段上；
2. 将N个事件的概率乘以N，得到一个新的概率数组q；
3. 将q中小于1的元素放入一个队列smaller，将大于等于1的元素放入另一个队列larger；
4. 从smaller中弹出一个元素i，从larger中弹出一个元素j；
5. 在第i行第一列填入事件i，在第i行第二列填入事件j，在第j行第一列填入事件j；
6. 将q[j]减去(1-q[i])，如果结果小于1，则将j放回smaller，否则将j放回larger；
7. 重复步骤4-6，直到smaller或larger为空。

根据Alias Table采样的步骤是：

1. 随机生成[1,N]之间的一个整数k，确定选中哪一行；
2. 随机生成[0,1]之间的一个数p，根据概率判断是取样该行的第一列还是第二列；
3. 如果p小于q[k]，则输出该行第一列对应的事件；否则输出该行第二列对应的事件。

而上面我参考的知乎贴里，已经复现出来了该代码：

import numpy as np
def gen_prob_dist(N):p = np.random.randint(0,100,N)return p/np.sum(p)def create_alias_table(area_ratio):l = len(area_ratio)accept, alias = [0] * l, [0] * lsmall, large = [], []for i, prob in enumerate(area_ratio):if prob < 1.0:small.append(i)else:large.append(i)while small and large:small_idx, large_idx = small.pop(), large.pop()accept[small_idx] = area_ratio[small_idx]alias[small_idx] = large_idxarea_ratio[large_idx] = area_ratio[large_idx] - (1 - area_ratio[small_idx])if area_ratio[large_idx] < 1.0:small.append(large_idx)else:large.append(large_idx)while large:large_idx = large.pop()accept[large_idx] = 1while small:small_idx = small.pop()accept[small_idx] = 1return accept,aliasdef alias_sample(accept, alias):N = len(accept)i = int(np.random.random()*N)r = np.random.random()if r < accept[i]:return ielse:return alias[i]def simulate(N=100,k=10000,):truth = gen_prob_dist(N)area_ratio = truth*Naccept,alias = create_alias_table(area_ratio)ans = np.zeros(N)for _ in range(k):i = alias_sample(accept,alias)ans[i] += 1return ans/np.sum(ans),truthif __name__ == "__main__":alias_result,truth = simulate()

上面的步骤，我基本上就是对照着代码和参考文献里改写的，所以可以打印一下最后两个返回值，alias_result 即是分好类的Alias Table，而truth 即是原始值，即按最大值进行平均的全概率集合。

更详细的对于该种算法的存在性证明可以看参考中的推导。

Node2Vec算法详细步骤

其中PreprocessModifiedWeights是生成随机游走采样策略，然后生成随机游走序列，中间的node2vecWalk采样策略按照之前的全概率公式，即我上面所举的例子，14亿人买彩票，那时间复杂度是$O(n)$，而用了AliaSample采样后，时间复杂度变为了$O(1)$，具体原因在上一节，这里是用空间（预处理）换时间，适用于大量反复的抽样情况下，将离散分布抽样转化为均匀分布抽样。那么还是找个例子，我如果是个普通人，用该种采样策略，我的概率变了嘛？答案当然是没变，我依然是1/14亿，计算如下：

最开始的第二列的概率是1/3（1/2，1/3，1/12，1/12），然后改变了平均策略后，最终如上图，我的第二列概率为第二列本来的0.25 = 1/4，加上第一列被平均的1/3 * 1/4 = 1/12，最终结果依然是1/3，证必。

而根据随机（概率）游走策略后，即node2vecWalk，后面还有一部为 StochasticGradientDesc，论文中同样针对该优化策略进行了创新，引入了负采样的方式来减小计算量。

node2vec是一种图嵌入方法，它可以综合考虑深度优先搜索（DFS）邻域和广度优先搜索（BFS）邻域。它的优化目标是最大化每个节点与其采样邻居的相似度。

node2vec的目标函数是最大化给定一个节点$u$，其邻域节点集合$N_S(u)$出现的条件概率：

$$\underset{f}{\max }\sum _{u\in V}\log Pr(N_S(u)|f(u))$$

其中$f(u)$是将节点u映射为低维向量的函数，$V$是图中所有节点的集合，S是采样策略。

根据链式法则，上述条件概率可以分解为：

$$Pr(N_S(u)|f(u))=\prod _{n_i\in N_S(u)}Pr(n_i|f(u),n_1,\dots ,n_{i-1})$$

其中$n_i$是从节点$u$开始的随机游走中第$i$个访问的节点。

为了简化计算，node2vec提出了条件独立性假设，每个$n_i$只依赖于前一个节点$n_{i-1}$，即：

$$Pr(n_i|f(u),n_1,\dots ,n_{i-1})\approx Pr(n_i|f(n_{i-1}))$$

这样就可以使用word2vec中的skip-gram模型来估计这个概率。然后第二种假设为特征空间对称性假设，一个顶点作为源顶点和作为近邻顶点的时候共享同一套embedding向量。具体地，对于每个源节点$u$和目标节点$v$，定义一个得分函数$s(f(u),f(v))$来衡量它们在特征空间中的相似度。通常使用点积作为得分函数：

$$s(f(u),f(v))=f(u{)}^{T}f(v)$$

然后使用softmax函数将得分转换为概率：

$$Pr(n_i=v|f(n_{i-1})=u)=\frac{\exp (s(f(u),f(v)))}{{\sum }_{v’\in V}\exp (s(f(u),f(v’)))}$$

由于softmax函数涉及对所有可能的 $v$ 求和，计算代价很高。因此node2vec采用了负采样技术来近似softmax。

负采样是一种提高训练速度并改善词向量质量的方法，它的思想是对每个正例（即真实存在于邻域中的节点对）采样 $K$ 个负例（即随机选择不在邻域中的节点对），然后用二元逻辑回归来区分正例和负例，这其实只是更新一小部分权重，而不是所有权重。

具体地，对于每个正例$（u,v）$，定义如下损失函数:

$$J_{pos}(u,v)=-\log (\sigma (s(f(u),f(v))))-\sum _{i=1}^K{E}_{v_n{P}_n(v)}[\log (\sigma (-s(f(u),f(v_n))))]$$

其中$\sigma$是sigmoid函数，$P_n(v)$是从图中抽取负例的分布（通常与度数成正比），$v_n$是第 $i$ 个负例。

最终node2vec要优化如下目标函数:

$$\underset{f}{\max }J=\sum _{(u,v)\in D}{J}_{pos}(u,v)$$

其中 $D$ 是由随机游走产生的所有正例组成的数据集。

那么推导完毕，代码的复现依然还是上节中浅梦大佬的笔记：

【Graph Embedding】node2vec：算法原理，实现和应用

以及他此项目的GitHub：

https://github.com/shenweichen/GraphEmbedding

Node2Vec代码复现

这里采用他的代码复现一下。根据GitHub中的安装方式安装ge包，然后在examples目录下运行node2vec_wiki.py，该文件代码为：

import numpy as npfrom ge.classify import read_node_label, Classifier
from ge import Node2Vec
from sklearn.linear_model import LogisticRegressionimport matplotlib.pyplot as plt
import networkx as nx
from sklearn.manifold import TSNE# 定义一个函数来评估嵌入效果
def evaluate_embeddings(embeddings):# 从文件中读取节点标签X, Y = read_node_label('../data/wiki/wiki_labels.txt')# 设置训练集比例为80%tr_frac = 0.8print("Training classifier using {:.2f}% nodes...".format(tr_frac * 100))# 使用逻辑回归作为分类器，并用嵌入作为特征clf = Classifier(embeddings=embeddings, clf=LogisticRegression())# 划分训练集和测试集，并评估分类效果clf.split_train_evaluate(X, Y, tr_frac)# 定义一个函数来可视化嵌入结果
def plot_embeddings(embeddings):# 从文件中读取节点标签X, Y = read_node_label('../data/wiki/wiki_labels.txt')emb_list = []for k in X:emb_list.append(embeddings[k])emb_list = np.array(emb_list)# 使用TSNE降维到二维空间model = TSNE(n_components=2)node_pos = model.fit_transform(emb_list)color_idx = {}for i in range(len(X)):color_idx.setdefault(Y[i][0], [])color_idx[Y[i][0]].append(i)# 根据不同标签画出不同颜色的点   for c, idx in color_idx.items():plt.scatter(node_pos[idx, 0], node_pos[idx, 1], label=c)plt.legend()plt.show()if __name__ == "__main__":# 从文件中读取图数据，创建有向有权图对象   G=nx.read_edgelist('../data/wiki/Wiki_edgelist.txt',create_using = nx.DiGraph(), nodetype = None, data = [('weight', int)])# 创建node2vec模型对象，设置相关参数    model = Node2Vec(G, walk_length=10, num_walks=80,p=0.25, q=4, workers=1, use_rejection_sampling=0)# 训练模型，设置窗口大小和迭代次数    model.train(window_size = 5, iter = 3)# 获取节点嵌入结果    embeddings=model.get_embeddings()# 调用之前定义的函数，评估和可视化嵌入效果    evaluate_embeddings(embeddings)plot_embeddings(embeddings) 

其中wiki_label中是17类，即0到16，我们可以运行该文件，查看输出结果：

R740:/home/program/test/GraphEmbedding/examples# python3 node2vec_wiki.py
Preprocess transition probs...
[Parallel(n_jobs=1)]: Using backend SequentialBackend with 1 concurrent workers.
[Parallel(n_jobs=1)]: Done   1 out of   1 | elapsed:    3.7s finished
Learning embedding vectors...
Learning embedding vectors done!
Training classifier using 80.00% nodes...
/home/anaconda3/envs/open-mmlab/lib/python3.7/site-packages/sklearn/metrics/_classification.py:1580: UndefinedMetricWarning: F-score is ill-defined and being set to 0.0 in labels with no true nor predicted samples. Use `zero_division` parameter to control this behavior._warn_prf(average, "true nor predicted", "F-score is", len(true_sum))
/home/anaconda3/envs/open-mmlab/lib/python3.7/site-packages/sklearn/metrics/_classification.py:1580: UndefinedMetricWarning: F-score is ill-defined and being set to 0.0 in labels with no true nor predicted samples. Use `zero_division` parameter to control this behavior._warn_prf(average, "true nor predicted", "F-score is", len(true_sum))
-------------------
{'micro': 0.6756756756756757, 'macro': 0.5947126880104103, 'samples': 0.6756756756756757, 'weighted': 0.6743062291097495, 'acc': 0.6756756756756757}
/home/anaconda3/envs/open-mmlab/lib/python3.7/site-packages/sklearn/manifold/_t_sne.py:783: FutureWarning: The default initialization in TSNE will change from 'random' to 'pca' in 1.2.FutureWarning,
/home/anaconda3/envs/open-mmlab/lib/python3.7/site-packages/sklearn/manifold/_t_sne.py:793: FutureWarning: The default learning rate in TSNE will change from 200.0 to 'auto' in 1.2.FutureWarning,

日志输出中打印了几个评估函数，它们的具体分数为：

{'micro': 0.6756756756756757, 'macro': 0.5947126880104103, 'samples': 0.6756756756756757, 'weighted': 0.6743062291097495, 'acc': 0.6756756756756757}

相关的聚类图如下：

关于node2Vec的底层代码，可以查看上面提到的链接，有解释源码中的preprocess_transition_probs、get_alias_edge和node2vec_walk，第一个函数是构造采样表，第二个函数是概率转换，即开头我所提到的创新，将随机游走变为了概率游走，第三个函数就是加入了alias sample算法的采样器。

当然，node2vec自己也创建了一个包，直接根据pip install node2vec下载，算是官方包，也是视频课程所用到的。

node2Vec包实战

本节根据B站视频同济子豪兄相关说明，代码参考自Task05 Node2Vec论文精读

1. 导入工具包与默认安装的数据集：

import networkx as nx
import numpy as np
import randomimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']   
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False  # 《悲惨世界》人物数据集
G = nx.les_miserables_graph()

2. 构建Node2Vec模型

from node2vec import Node2Vec# 设置node2vec参数
node2vec = Node2Vec(G, dimensions=32,  # 嵌入维度p=1,            # 回家参数q=3,            # 外出参数walk_length=10, # 随机游走最大长度num_walks=600,  # 每个节点作为起始节点生成的随机游走个数workers=4       # 并行线程数
)# p=1, q=0.5, n_clusters=6。DFS深度优先搜索，挖掘同质社群
# p=1, q=2, n_clusters=3。BFS宽度优先搜索，挖掘节点的结构功能。# 训练Node2Vec
model = node2vec.fit(window=3,     # Skip-Gram窗口大小min_count=1,  # 忽略出现次数低于此阈值的节点（词）batch_words=4 # 每个线程处理的数据量
)
X = model.wv.vectors

3. 节点Embedding聚类可视化

# KMeans聚类
from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np
cluster_labels = KMeans(n_clusters=3).fit(X).labels_
print(cluster_labels)# 将networkx中的节点和词向量中的节点对应
colors = []
nodes = list(G.nodes)
# 按 networkx 的顺序遍历每个节点
for node in nodes:# 获取这个节点在 embedding 中的索引号idx = model.wv.key_to_index[str(node)] # 获取这个节点的聚类结果colors.append(cluster_labels[idx]) 
"""
[0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0]
"""

4. 可视化聚类结果

plt.figure(figsize=(15,14))
pos = nx.spring_layout(G, seed=10)
nx.draw(G, pos, node_color=colors, with_labels=True)
plt.show()

node2vec降维可视化

# 将Embedding用PCA降维到2维
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
embed_2d = pca.fit_transform(X)plt.scatter(embed_2d[:, 0], embed_2d[:, 1])
plt.show()

还可以对Edge（连接）做Embedding：

from node2vec.edges import HadamardEmbedder# Hadamard 二元操作符：两个 Embedding 对应元素相乘
edges_embs = HadamardEmbedder(keyed_vectors=model.wv)# 查看 任意两个节点连接 的 Embedding
edges_embs[('Napoleon', 'Champtercier')]"""
array([-1.32887985e-03,  4.66461703e-02,  4.09327209e-01,  9.96602178e-02,6.26228750e-02,  5.16123235e-01,  3.31034124e-01,  8.28218937e-01,7.78538138e-02,  1.39643205e-02,  5.18605635e-02,  7.23598641e-04,3.80857401e-02,  2.59436034e-02,  2.91174115e-03,  2.69687593e-01,3.69817726e-02,  9.54697747e-03,  2.63099521e-01,  1.34550110e-01,8.09033439e-02,  6.05619431e-01,  3.74024451e-01,  8.45154063e-05,1.11978855e-02, -5.34820855e-02,  5.61549842e-01,  8.59113395e-01,1.65469334e-01,  6.88703060e-02,  1.19110994e-01,  6.94330484e-02],dtype=float32)
"""

计算# 计算所有 Edge 的 Embedding，查看与某两个节点最相似的节点对：

# 计算所有 Edge 的 Embedding
edges_kv = edges_embs.as_keyed_vectors()
# 查看与某两个节点最相似的节点对
edges_kv.most_similar(str(('Bossuet', 'Valjean')))