微分方程（人口预测与传染病模型）

article/2025/11/7 23:05:33

一、定义

  • 微分方程：含导数或微分的方程

  • 微分方程的阶数：所含导数或微分的最高阶数，如y’’’+2y’’-2x=0是三阶微分方程

  • 微分方程的解：使得微分方程成立的函数 例如y’-2x=0的解可以为x²或者x²+1

  • 微分方程的通解和特解：特解为满足等式条件即可

  • 初值条件：如y(0)=1

二、微分方程模型

1、人口预测模型

马尔萨斯模型
在这里插入图片描述

2、微分方程解析解

ODE 常微分方程
（求解析解的问题，Matlab代码简介，运算效率高）

% dy/dx = 2x , y(1) = 2
dsolve('Dy=2*x','y(1)=2','x')% d2s/dt2 = -0.4 , s(0) = 0 , Ds(0) = 20
dsolve('D2s=-0.4','s(0)=0,Ds(0)=20','t')% dy/dx = 2xy
dsolve('Dy=2*x*y','x')% dM/dt = -nM , M(0) = M0
dsolve('DM=-n*M','M(0)=M0','t')% dt/dh*KS（2gh）**(1/2)  = -pi(2h-h**2) , t(1) = 0
dsolve('Dt*K*S*(2*g*h)^(1/2)=-pi*(2*h-h^2)','t(1)=0','h')% y**2+x**2*dy/dx = xy*dy/dx
dsolve('y^2+x^2*Dy=x*y*Dy','x')% y''' = e**2x - cos(x)
dsolve('D3y=exp(2*x)-cos(x)','x')

三、传染病模型

今年疫情，传染病模型又将成为一波建模热潮，以下涉及传染病模型包括SI、SIS、SIR、SIRS、SEIR、SEIRS共六个模型：

  • 易感者S（Susceptible person）：可感染人群
  • 感染者I（Infected individual）：确诊人群
  • 潜伏者E（Exposed person）：已经被传染但没有表现出来的人群
  • 康复者R（Recovered person）：已痊愈的感染者

模型一：SI-Model

①原始模型

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.25
# gamma为恢复率系数
gamma = 0
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0
# T为传播时间
T = 150# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,I_0)def funcSI(inivalue,_):Y = np.zeros(2)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[1]) / N + gamma * X[1]# 感染个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[1]) / N - gamma * X[1]return YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSI,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.title('SI Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

感染者数量逐渐上升，易感染者数量逐渐下降，直至为0

在这里插入图片描述

②考虑某种因素使得参数β降低

如禁止大规模聚会、采取隔离措施

β降低

③考虑人口出生率和死亡率的因素

在这里插入图片描述
请添加图片描述

④考虑疾病死亡率的因素（不考虑人口出生率和死亡率）

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

⑤同时考虑疾病死亡率的因素和人口出生率和死亡率

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

模型二：SIS-Model

①原始模型

假设从某种疾病恢复后仍然不能产生抗体，未来仍然可能患病，那我们会经历：感染-恢复-再感染，不断循环。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.25
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.05
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0
# T为传播时间
T = 150# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,I_0)def funcSIS(inivalue,_):Y = np.zeros(2)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0]) / N * X[1] + gamma * X[1]# 感染个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[1]) / N - gamma * X[1]return YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSIS,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.title('SIS Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

当恢复系数gamma = 0.05时：
请添加图片描述
当恢复系数gamma = 0.1时：
请添加图片描述

②考虑某种因素使得α参数增加

如建立医院、升级医疗装备、开发疫苗

α增加

模型三：SIR-Model

①原始模型

某些疾病发病迅速，但康复后会产生抗体，不会再次被感染，如天花、麻疹等。
在这里插入图片描述
康复率为γ

在这里插入图片描述

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.25
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.05
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# R_0为治愈者的初始人数
R_0 = 0
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0 - R_0
# T为传播时间
T = 150# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,I_0,R_0)def funcSIR(inivalue,_):Y = np.zeros(3)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[1]) / N# 感染个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[1]) / N - gamma * X[1]# 治愈个体变化Y[2] = gamma * X[1]return YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSIR,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.plot(RES[:,2],color = 'green',label = 'Recovery',marker = '.')
plt.title('SIR Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

易感者逐渐减少，感染者先增后减，康复者增加：
在这里插入图片描述

②考虑某种因素使得参数γ增加

如研发疫苗、升级医疗装备

γ增加

③考虑疾病死亡率的因素（不考虑人口出生率和死亡率的因素）

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

模型四：SIRS-Model

①原始模型

模型中康复者R可能会以a的转移率再次变为易感者S，可以看作是SIS和SIR的融合：
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
代码1：抗体持续时间为7天，七天后可被再次感染：

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.25
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.05
# Ts为抗体持续时间
Ts = 7
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# R_0为治愈者的初始人数
R_0 = 0
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0 - R_0
# T为传播时间
T = 150# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,I_0,R_0)def funcSIRS(inivalue,_):Y = np.zeros(3)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[1]) / N + X[2] / Ts# 感染个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[1]) / N - gamma * X[1]# 治愈个体变化Y[2] = gamma * X[1] - X[2] / Tsreturn YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSIRS,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.plot(RES[:,2],color = 'green',label = 'Recovery',marker = '.')
plt.title('SIRS Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

在这里插入图片描述

代码2：a再次感染转移率为0.05

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.25
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.05
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# R_0为治愈者的初始人数
R_0 = 0
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0 - R_0
# T为传播时间
T = 150
# a为再次感染的转移率
arfa = 0.05# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,I_0,R_0)def funcSIRS(inivalue,_):Y = np.zeros(3)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[1]) / N + arfa * X[2]# 感染个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[1]) / N - gamma * X[1]# 治愈个体变化Y[2] = gamma * X[1] - arfa * X[2]return YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSIRS,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.plot(RES[:,2],color = 'green',label = 'Recovery',marker = '.')
plt.title('SIRS Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

在这里插入图片描述

②考虑疾病死亡率的因素

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

②考虑抗体的因素

康复后，有部分人群获得抗体，成为完全康复者；有部分人群暂时不会获得抗体，未来还可能被感染，成为暂时康复者。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

模型五：SEIR-Model

①原始模型

某些疾病具有潜伏期，被传染的人群会进入潜伏期E，潜伏着转化为感染者有一个速率σ，并且潜伏着不具有传染性。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
代码1：潜伏期为14天

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.6
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.1
# Te为疾病潜伏期
Te = 14
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# E_0为潜伏者的初始人数
E_0 = 0
# R_0为治愈者的初始人数
R_0 = 0
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0 - E_0 - R_0
# T为传播时间
T = 150# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,E_0,I_0,R_0)def funcSEIR(inivalue,_):Y = np.zeros(4)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[2]) / N# 潜伏个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[2]) / N - X[1] / Te# 感染个体变化Y[2] = X[1] / Te - gamma * X[2]# 治愈个体变化Y[3] = gamma * X[2]return YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSEIR,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'orange',label = 'Exposed',marker = '.')
plt.plot(RES[:,2],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.plot(RES[:,3],color = 'green',label = 'Recovery',marker = '.')plt.title('SEIR Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

在这里插入图片描述
代码2：σ潜伏者转化为感染者速率为0.3

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.6
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.1
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# E_0为潜伏者的初始人数
E_0 = 0
# R_0为治愈者的初始人数
R_0 = 0
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0 - E_0 - R_0
# T为传播时间
T = 150
# σ为潜伏者转化为感染者速率
sigama = 0.3# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,E_0,I_0,R_0)def funcSEIR(inivalue,_):Y = np.zeros(4)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[2]) / N# 潜伏个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[2]) / N - X[1] * sigama# 感染个体变化Y[2] = X[1] * sigama - gamma * X[2]# 治愈个体变化Y[3] = gamma * X[2]return YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSEIR,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'orange',label = 'Exposed',marker = '.')
plt.plot(RES[:,2],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.plot(RES[:,3],color = 'green',label = 'Recovery',marker = '.')plt.title('SEIR Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

在这里插入图片描述

②考虑潜伏者（E）具有传染性的因素

假设易感染与感染者接触被传播强度为β1，易感染与潜伏着接触被传染强度被β2：
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

模型六：SEIRS-Model

①原始模型

抗体持续时间为7天，疾病潜伏期为14天：

import scipy.integrate as spi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# N为人群总数
N = 10000
# β为传染率系数
beta = 0.6
# gamma为恢复率系数
gamma = 0.1
# Ts为抗体持续时间
Ts = 7
# Te为疾病潜伏期
Te = 14
# I_0为感染者的初始人数
I_0 = 1
# E_0为潜伏者的初始人数
E_0 = 0
# R_0为治愈者的初始人数
R_0 = 0
# S_0为易感者的初始人数
S_0 = N - I_0 - E_0 - R_0
# T为传播时间
T = 150# INI为初始状态下的数组
INI = (S_0,E_0,I_0,R_0)def funcSEIRS(inivalue,_):Y = np.zeros(4)X = inivalue# 易感个体变化Y[0] = - (beta * X[0] * X[2]) / N + X[3] / Ts# 潜伏个体变化Y[1] = (beta * X[0] * X[2]) / N - X[1] / Te# 感染个体变化Y[2] = X[1] / Te - gamma * X[2]# 治愈个体变化Y[3] = gamma * X[2] - X[3] / Tsreturn YT_range = np.arange(0,T + 1)RES = spi.odeint(funcSEIRS,INI,T_range)plt.plot(RES[:,0],color = 'darkblue',label = 'Susceptible',marker = '.')
plt.plot(RES[:,1],color = 'orange',label = 'Exposed',marker = '.')
plt.plot(RES[:,2],color = 'red',label = 'Infection',marker = '.')
plt.plot(RES[:,3],color = 'green',label = 'Recovery',marker = '.')plt.title('SEIRS Model')
plt.legend()
plt.xlabel('Day')
plt.ylabel('Number')
plt.show()

在这里插入图片描述


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