GMM高斯混合模型

一、GMM简介

GMM 全称是高斯混合模型，顾名思义，其本质就是将n个高斯模型混合叠加在一起，主要用处是用来作异常检测，聚类等；优点就是可解释性好，在低维数据上有着不错的效果；
常见的异常检测算法，例如：KNN，Kmeans，通常在低维数据上有不错的效果，在高维数据上的表现就不是很好，原因如下：
1、传统方法对高维数据的处理分两步，先将高维数据降维到低维上面，再在低维数据上面作密度估计；
2、但高维数据降维之后，不容易保留足够多的关键信息；而且，降维后和密度估计是独立的，这样很容易陷入局部最优的境地，因为两部是相互独立的，所以不容易知道该保留哪些密度估计所要的关键信息；

二、GMM原理

1、GMM模型

每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：

根据如上的公式，如果我们从GMM中取一个点的话，可以分为两步；1：先随机选一个component，component被选中的概率为p；2、选中之后再考虑从这个component中选取一个点，这就是回到gaussian的问题了；

2、求解GMM模型

求解GMM模型，其实本质就是求解每个compoment的概率P，以及gaussian分布中的各类均值Pmiu，和各类协方差Psigma（k)这些参数。
可以这么来思考，假设找到一组参数，它所确定的概率分布生成的这些给定的数据点的概率最大，为，这个乘积称作似然函数（Likelihood Function)。通常单个点的概率很小，因此会取其对数，把乘积变为，接下来只需要将这个函数最大化（通常是求导数，然后令导数为0），即找到这样一组参数值，它让似然函数取得最大值，我们就认为这是最合适的参数，这样就完成了参数估计的过程。

GMM的log-likelihood-function：

由于在对数函数里又有加和，我们没法直接求导解方程来直接求得最大值，为了解决这个问题我们分两步走，即EM算法；

三、求解过程

（1）估计数据由每个component生成的概率：对于每个数据Xi来说，它是由第k个component生成的概率为：

其中，N（xi | μk,Σk）就是
这就是EM算法中的E步，即确定Q函数，

2、确定EM算法中的M步
迭代的M步时求函数Q对theta的极大值，即通过极大似然估计可以通过求到令参数=0得到参数pMiu,pSigma的值，

其中，
重复以上计算，知道对数似然函数值不再由明显的变化为止

最后的loss函数各参数估计计算如下：