引言

上一系列介绍了EM算法，本节将介绍第一个基于EM算法求解的概率生成模型——高斯混合模型(Gaussian Mixture Model,GMM)。

高斯混合模型介绍

示例介绍

首先观察一张关于样本集合$\mathcal{X}$的分布图：

从观察的视角对$\mathcal{X}$的分布进行分析，感觉上述样本点明显存在两堆，当然也可以认为是一堆样本，可能是样本没有全部生成完而已。但从常理角度观察 更像是两种不同分布的样本点存在于同一个样本空间中。

我们假设上述两堆样本点每一堆均服从高斯分布，尝试对上述样本点横坐标的的概率密度函数(Probability Density Function,PDF)进行表示：

该图意义是概率密度函数结果越高，该样本点存在更大的概率被产生出来。
观察上述所有样本点的横坐标，发现 以0.8和2.1这两个位置为中心，横坐标值围绕这两个中心产生的更密集，而其他位置相对稀疏一些。

因此，我们可以认为产生这些样本点的概率模型$P(\mathcal{X})$是由两个高斯分布混合在一起得到的混合模型。我们称这个概率模型$P(\mathcal{X})$为高斯混合模型。

从几何角度观察高斯混合模型

$P(\mathcal{X})$也自然存在概率密度函数。依然以上述样本点横坐标作为示例，它的概率密度函数大致表示如下：

其中这个蓝色线可看作概率分布$P(\mathcal{X})$产生的样本横坐标的概率密度函数。以第$i$个样本的横坐标$x^{(i)}$为例，它的具体计算方法如下：
$$\begin{array}{rl}{x}_{mix}^{(i)}& =\frac{f_1(x^{(i)})}{f_1(x^{(i)})+f_2(x^{(i)})}\cdot f_1(x^{(i)})+\left[1-\frac{f_1(x^{(i)})}{f_1(x^{(i)})+f_2(x^{(i)})}\right]\cdot f_2(x^{(i)})\\ & =\frac{[f_1(x^{(i)}){]}^2+[f_{(}{x}^{(i)}){]}^2}{f_1(x^{(i)})+f_2(x^{(i)})}\end{array}$$
其中，$f_1,f_2$分别表示两种高斯分布的概率密度函数：
$$f_j=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_j}{e}^{-\frac{(x_i-{\mu }_j{)}^2}{2{\sigma }_j^2}}(j=1,2)$$
我们可以将$x_{mix}^{(i)}$结果的生成看成两个步骤：

• 对应样本点横坐标$x^{(i)}$，分别计算该样本点分别出现在分布1、分布2的比重${\alpha }_1^{(i)},{\alpha }_2^{(i)}$：
  $${\alpha }_1^{(i)}=\frac{f_1(x^{(i)})}{f_1(x^{(i)})+f_2(x^{(i)})},{\alpha }_2^{(i)}=\left[1-\frac{f_1(x^{(i)})}{f_1(x^{(i)})+f_2(x^{(i)})}\right]$$
• 融合模型的概率密度结果表示为属于各分布的加权平均：
  $$x_{mix}^{(i)}={\alpha }_1^{(i)}{f}_1(x^{(i)})+{\alpha }_2^{(i)}{f}_2(x^{(i)})$$

因此，从图像角度观察可以将高斯混合模型理解为：样本空间中的任一维度均由多个高斯分布叠加而成，并且该模型的概率密度函数可表示为多个高斯分布的加权平均。

假设某高斯混合模型由$\mathcal{K}$个高斯分布叠加而成，那么该模型的概率密度函数表示如下：
$$P(\mathcal{X})=\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{\alpha }_k\cdot \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)(\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{\alpha }_k=1)$$

从混合模型的角度观察

重新观察样本分布图，先设定数据集合中样本点的表示如下：
$$Data=\left\{(x^{(i)},y^{(i)}){|}_{i=1}^N\right\}$$
其中$x^{(i)},y^{(i)}$分别表示样本点$(x^{(i)},y^{(i)})$的横坐标、纵坐标。此时给定一个样本点$(x^{(k)},y^{(k)})$(红色样本点)如图所示：

我们提出的问题是：红色样本点$(x^{(k)},y^{(k)})$属于哪个高斯分布？
上述的高斯分布的等高线只是画了若干条以作表示，但实际上高斯分布在其样本空间内无限延伸。
因此，实际上$(x^{(k)},y^{(k)})$只要在该样本空间内，它属于任意一个高斯分布，但如果需要确定该样本所服从的规律，我们可以提出一个朴素想法：
该样本距离哪个高斯分布中心更近一点，它是哪个高斯分布的概率就更大一点。
基于上述想法，构建一个变量$\mathcal{Z}$，并赋予它实际意义：样本$(x^{(k)},y^{(k)})$属于哪个高斯分布。
基于上述思想，我们基于变量$\mathcal{Z}$对样本点$(x^{(k)},y^{(k)})$的分布归属问题有如下判断：

$\mathcal{Z}$	$z_1$	$z_2$
$P(\mathcal{Z})$	$p_1$	$p_2$

其中，$z_1,z_2$表示高斯分布编号(离散型随机变量)，$p_1,p_2$表示样本点$(x^{(i)},y^{(i)})$分别属于高斯分布$z_1,z_2$的概率。即：
$$p_j=P[(x^{(i)},y^{(i)})\in z_j](j=1,2)$$
关于$P(\mathcal{Z})$的约束条件有：
$$p_1+p_2=1$$

概率混合模型的引出

基于上述例子，我们称上述定义的变量$\mathcal{Z}$为隐变量。原因在于该变量无法从样本集合自身观察出来，而定义它的目的在于协助求解概率分布$P(\mathcal{X})$。

基于隐变量$\mathcal{Z}$，可以通过两步走的形式进行求解：

• 对样本点属于样本空间内任意高斯分布的概率进行统计，即求解$P(\mathcal{Z})$;
• 基于步骤1，样本基于各概率服从对应的高斯分布，即求解$P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Z})$;

假设样本空间中一共包含$\mathcal{K}$个高斯分布，概率分布$P(\mathcal{X})$可以表示如下：
该式子和‘几何角度’中的公式基本没有区别，只是从不同角度理解理解‘隐变量的表示’而已。
$$P(\mathcal{X})=\sum _{\mathcal{Z}}P(\mathcal{X}\mid \mathcal{Z})P(\mathcal{Z})=\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{p}_k\cdot \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)(\sum _{k=1}^{\mathcal{K}}{p}_k=1)$$

从概率生成模型的角度观察高斯混合模型

我们在极大似然估计与最大后验概率估计中介绍过，$P(\mathcal{X})$既可以表示样本集合$\mathcal{X}$的概率分布，也可以表示概率模型。

它的描述具体为：样本集合$\mathcal{X}$是由概率模型$P(\mathcal{X})$生成的样本组成的集合。概率模型可以源源不断地生成样本，样本集合$\mathcal{X}$只是其中一个子集。

高斯混合模型的隐变量$\mathcal{Z}$是一个基于参数的离散分布，因此将高斯混合模型从生成模型的角度 理解为如下步骤：

• 以$p_k$的概率从$\mathcal{K}$个离散的参数中选择了参数$k$；
• 在参数$k$确定的条件下，由于参数$k$唯一对应一个高斯分布$\mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$，因此，从高斯分布$\mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$中随机生成一个样本$x$；
• 重复执行上述步骤，重复$N$次，最终获得$N$个样本的样本集合$\mathcal{X}$。

下一节将介绍高斯混合模型的求解过程。

相关参考：
机器学习-高斯混合模型（1）-模型介绍