《算法导论3rd第十六章》贪心算法

前言

适用于最优化问题的算法往往包含一系列步骤，每个步骤都面临多种选择。使用动态规划解决最优化问题，相当于计算出每咱选择，浪费大量效率。对于“特定”下的最优化问题，可以使用更简单更高效的贪心算法。贪心算法在每一步的选择中，都选择当时最佳的情况。即局部最优的选择->全局最优 思想。

活动选择问题

在这里插入图片描述

动态规划解法

c[i, j]为 $S_{ij}$ 中最大兼容子集中的活动数
在这里插入图片描述

将动态规划解转化为贪心解

选择一个活动使得选出它后剩下的资源能被尽量多的其他任务所用。根据直觉，我们首选的活动应该是S中最早结束的活动。
在这里插入图片描述
根据上述证明结论，根据结速时间重新排序活动集合S，迭代贪心算法

GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR(s,f)
n=s.length
A={a1}
k=1
for m=2 to nif s[m]>=f[k]A=A U {am}k=m
return A

练习

1-1根据递归式(16.2)为活动选择问题设计一个动态规划算法。算法应该按排好前文定义计算最大兼容活动集的大小c[i,j]并生成最大集本身。假定输入的活动已按公式(16.1)排序。比较你的算法和GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR的运行时间

DYNAMIC-ACTIVITY-SELECTOR(s, f, n)let c[0..n + 1, 0..n + 1] and act[0..n + 1, 0..n + 1] be new tablesfor i = 0 to nc[i, i] = 0c[i, i + 1] = 0c[n + 1, n + 1] = 0for l = 2 to n + 1for i = 0 to n - l + 1j = i + lc[i, j] = 0k = j - 1while f[i] < f[k]if f[i] ≤ s[k] and f[k] ≤ s[j] and c[i, k] + c[k, j] + 1 > c[i, j]c[i, j] = c[i, k] + c[k, j] + 1act[i, j] = kk = k - 1print "A maximum size set of mutually compatible activities has size" c[0, n + 1]print "The set contains"PRINT-ACTIVITIES(c, act, 0, n + 1)PRINT-ACTIVITIES(c, act, i, j)if c[i, j] > 0k = act[i, j]print kPRINT-ACTIVITIES(c, act, i, k)PRINT-ACTIVITIES(c, act, k, j)

GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR 运行时间为Θ(n)
DYNAMIC-ACTIVITY-SELECTOR 运行时间为O(n^3)

1-2假定我们不再一直选择最早结束的活动，而是选择最晚开始的活动，前提仍然是与之前选出的所有活动均兼容。描述如何利用这一方法设计贪心算法，并证明算法会产生最优解。

反向计算，先找出开始时间最晚的活动，然后再找出结束时间早于开始时间且开始时间最晚的活动。

1-3对于活动选择问题，并不是所有贪心算法都能得到最大兼容活动子集。请举例说明，在剩余兼容活动中选择持续时间最短者不能得到最大集。类似的，说明在剩余兼容活动中选择与其他剩余活动重叠最少者，以及选择最早开始者均不能得到最优解。

（略）

1-4假定有一组活动，我们需要将它们安排到一些教室，任意活动都可以在任意教室进行。我们希望使用最少的教室完成所有活动。设计一个高效的贪心算法求每个活动应该在哪个教室进行。

（这个问题称为区间图着色问题(interval-graph color problem)。我们可以构造一个区间图，顶点表示给定的活动，边连接不兼容的活动。要求用最少的颜色对顶点进行着色，使得所有相邻顶点颜色均不相同——这与使用最少的教室完成活动的问题是对应的）

我们很容易就可以想到用GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR(s, f)来解决这个问题，首先调用这个函数，得到可以兼容的最大活动数，然后再在余下的活动中再次调用这个函数，直至活动为0。

对于区间图着色(interval-graph coloring)问题，先在一个集合中放入一个点，然后把不与这个点相邻的所有元素(这些元素也应该互不相邻吧)放入这个集合，对于剩下的点，重复前面的动作即可，依此循环，直至没有点可选。最后，有多少个集合就是多少种颜色，集合中的元素用相同的色渲染。

1-5考虑活动选择问题的一个变形：每个活动ai除了开始和结束时间外，还有一个值vi。目标不再是求规模最大的兼容活动子集，而是求值之和最大的兼容活动子集。也就是说，选择一个兼容活动子集A，使得 $\sum_{a_{k}\in A}v_k$ 最大化。设计一个多项式时间算法求解此问题。

令S[i,j]表示在活动a[i]结束之后开始，且在a[j]开始之前结束的那些活动。考虑S[i,j]之中的一个活动a[k]，则S[i,j] = S[i,k] + a[k] + S[k,j]，动态规划可解.
也可使用贪心：

对活动根据结束排序 a0,a1…an-1
根据开始时间取a0放入，计算出单位时间权值
现在取a1放入，如果a0和a1有重合，则比较 a0和a1单位时间权值
依此类推

贪心算法原理

一般情况下，我们可以按如下步骤设计贪心算法：

将最优化问题转换为这样的形式：对其做出一些选择后，只剩下一个子问题需要求解。
证明做出贪心选择后原问题总是存在最优解，即贪心选择总是安全的。
证明做出贪心选择后剩余的子问题满足性质：其最优解与贪心选择组合即可得到原问题的最优解，这样就得到了最优子结构。

贪心选择性质

一个全局最优解可以通过局部最优选择（贪心选择）达到，不考虑子问题的结果；

动态规划每一步都要做出选择，并且选择依赖于子问题的解(先求解出子问题的解，对解进行选择），所以动态规划要自底向上，从小问题到大问题；
在贪心算法中，我们总是做出当时看来最佳的选择，然后求解剩下的唯一的子问题。贪心算法进行选择时可能依赖之前做出的选择，但不依赖任何将来的选择或是子问题的解。因此贪心算法是自顶向下；

最优子结构

如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则称此问题具有最优子结构性质。

0-1 背包问题：一个小偷发现了n个商品，每件商品的价格和重量已知，小偷的背包只能容纳重量为W，小偷需要带走尽可能高价值的商品，每件商品只能整个带走而不能只带走一部分。（采用动态规划）
分数背包问题：与0-1背包不同的是小偷可以只带走商品的部分而不必全部带走（采用贪心策略）

在这里插入图片描述

01背包和分数背包都有最优子结构性质，但01背包不具有贪心选择性

练习

2-1证明：分数背包问题具有贪心选择性

证明命题：设𝑎𝑘是剩余物品中𝑣𝑖/𝑤𝑖 最大的物品，则对于这个子问题，𝑎𝑘必在最优解中。
假设存在𝑎𝑗(𝑤𝑗≤𝑤𝑘)使得∑𝑣𝑖更大
由于𝑣𝑘/𝑤𝑘≥𝑣𝑗/𝑤𝑘 所以𝑣𝑘≥𝑣𝑗
假设不成立

2-2设计动态规划求解0-1背包问题，要求时间为O(nW),n为商品数量，W是小偷能放进背包的最大商品总质量。

0-1-KNAPSACK(n, W)Initialize an (n + 1) by (W + 1) table Kfor i = 1 to nK[i, 0] = 0for j = 1 to WK[0, j] = 0for i = 1 to nfor j = 1 to Wif j < i.weightK[i, j] = K[i - 1, j]elseK[i, j] = max(K[i - 1, j], K[i - 1, j - i.weight] + i.value)

2-3假定在0-1背包问题中，商品的重量递增序与价值递减序完全一样。设计一个高效的算法求解背包问题的变形的最优解，证明你的算法是正确的。

可用贪心， v1>v2,w1<w2;符合贪心选择性

2-[4-5]

（略）

2-6说明如何在O(n)时间内解决部分背包问题

使用线性时间的中位数算法。即不一定要知道具体排序，只要前几物品重量满足就行

2-7给定两个集合A和B，各包含n个正整数。你可以按需要任意重排每个集合。重排后，令ai为集合A的第i个元素，bi为集合B的第i个元素。于是你得到回报 $\prod_{i=1}^{n}a_{i}^{b_{i}}$ 。设计算法最大化你的回报。证明你的算法是正确的，并分析运行时间。

对集合A和B进行排序，每次取最大值，计算a^b.

赫夫曼编码

在这里插入图片描述
可变编码比固定编码好的多，其特点是对高频字符赋以短编码

（45 * 1 + 13 * 3 + 12 * 3 + 16 * 3 + 9 * 4 + 5 * 4）* 1000 = 224000

前缀编码

让了字符编码成为另一字符编码的前缀。
在这里插入图片描述

构造哈夫曼编码

哈夫曼设计了一种可用来构造哈夫曼编码的最优前缀码的贪心算法。

n=|C|
Q=C
for i=1 to n-1allocate a new node zz.left=x=EXTRACT-MIN(Q)//寻找Q中频率最低的数作为左孩子z.right=y=EXTRACT-MIN(Q)z.freq=x.freq+y.freqINSERT(Q,z)
return EXTRACT-MIN(Q)

在这里插入图片描述

a图集合: 5，9，12，13，16，45
b图集合：12，13，14，16，45 （5，9（最小）移出生成子树，其树根14加入集合）
c图集合：14，16，25,45 （12，13（最小）移出生成子树，其树根25加入集合）
d图集合：25, 30, 45 （14，16（最小）移出生成子树，其树根30加入集合）
e图集合：45, 55 （25，30（最小）移出生成子树，其树根55加入集合）
f图集合：（45，55（最小）移出生成子树，其树根100加入集合）

哈夫曼算法的正确性

要证明哈夫曼算法的正确性，只要证明最优前缀码问题具有贪心选择性质和最优子结构性质

贪心选择性质：全局最优解可以通过局部最优选择（贪心选择）达到
最优子结构性质:子问题的最优解和贪心选出来的解可以凑成原问题的最优解

练习

贪心算法的理论基础

贪心算法在确定何时能够产生最优解的时候，其实用到一种叫做拟阵的组合结构。贪心算法不一定产生最优解，但是如果一个贪心问题可以转化为拟阵，这个贪心算法可以产生最优解；

拟阵

一个拟阵是满足下列条件的一个序对M= (S,e);

S 是一个有穷非空集合；
e是S的一个非空子集族，称为S的独立子集；具有遗传性质，如果A是B的子集，并且B是e的一个成员，则A是e的一个成员；
拟阵具有交换性：如果A是e的成员， B是e的成员， |A|<|B|, 则有某个元素x 是（B-A），使得A+{x} 是e的成员；

简单的拟阵实例

M=(S,L)
S={1,2,3,5}
L={ {1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5} }

对拟阵M=(S,L)给出以下定义：

若A∈L，那么称 A 为独立集
对于独立集 A ，若存在 x∈S ，满足 x∉A 且A∪{ x }∈L，那么称 A 为可拓展的。若独立集 A 不可拓展，那么称 A 为极大独立集。

定理——同一拟阵的极大独立集元素个数(即大小)相同
证明:
反证法。设 A与 B 为拟阵的两个大小不同的极大独立集，不妨设|A|<|B|，那么根据拟阵的交换性，A 是可拓展的，不满足最大独立集的定义，与假设矛盾，故命题成立。

关于加权拟阵的贪心算法

对拟阵 M=(S,L) ，我们对 S 内的每一个元素赋予一个正整数权值 w(A) ("整数"这里只是规定，事实上我们在解决问题时可以进行融会贯通) , 定义 S 的子集 A 的权值 w(A) = $\sum_{x\in A} w(x)$ ，即其元素权值和。

我们规定权值最大的独立集为权值最大独立集，显然权值最大独立集一定是极大独立集。

拟阵解决贪心问题的规律便在于此——对于任何能够转换为拟M=(S,L)的问题，都可以通过如下算法解决(即求出权值最大独立集)：

## 给出拟阵M与权值函数w  (Set这里意为返回一个集合)
Set Solve(M,w)
{清空A;将S按w(x)的大小降序排好；for(对每一个x∈S,按w(x)降序){if(A∪{x}∈L)  ## 判断独立集A=A∪{x}；}return A;//即权值最大独立集
}

事实上，在将问题转化为拟阵后，套用该算法的关键便在于如何判断独立集.

最小生成树问题

在最小生成树问题中，已知无向图 G= (V , E) 【注 : V 是点集，E 是边集】,一个长度函数w， w(e) 表示边e的长度

我们定义这样一个M=(S,L):

S=E
L={ x | x⊆E 且图 G’=(V,x) 中无环 }
这个 M 显然满足子集系统的前两个条件。

这里证明其具有遗传性与交换性：

遗传性：对任意A∈L， B⊆A , 显然B⊆E。假设 B 中有环，那么 A 中也一定有环，与 A∈L 矛盾，故 B 中无环，因此B∈L ， M具有遗传性。
交换性：对任意A∈L，B∈L，设|A|<|B|，显然 [公式] =(V,A) 中有|V|-|A| 个连通分量 , [公式] =(V,B) 中有|V|-|B|个连通分量。
由|A|<|B| 有 |V|-|A|>|V|-|B| , 可知此时 B 中一定存在一条边 x 连接了 G_A 中的两个不同的连通分量。显然，G’=(V,A∪{x})中无环且A∪{x}∈L ，因此M具有交换性。

综上，M是一个拟阵。我们需要设计权值函数 w(x) 了,

最小生成树中是最小的权值优先
我们可以先将权值取相反数，再统一加上一个足够大的数使得权值为正即可，因此，我们使元素的权值为 w(x)=x 的边权的相反数+(E中最大边权+1)，此时便满足 w(x)>0了，

练习

（略）

一个调度问题

单个处理器对若干个单位时间任务进行最优调度，其中每个任务都有一个截止期限和超时惩罚。
单个处理器上具有期限和惩罚的单位时间任务调度的输入如下，有三个数组：

包含有n个单位时间任务的集合S = {a1, a2, a3, …, an};
n个整数值的期限d1, d2, …, dn, 即任务ai要求在di之前完成；
n个非负的权值（惩罚代价）w1， w2， w3，…， wn；如果ai在di之前没有被调度，就会有惩罚wi；

目标：找出一个S的调度，使得总的惩罚最小；

令M=(S,L)

S 即所给集合
L={ x | x⊆S , 且存在对 x 的合理调度使总惩罚为 0 }
这个 M 满足子集系统的前两个条件

证明其具有遗传性与交换性即可。

遗传性：对任意A∈L， B⊆A , 显然B⊆S。因为 A∈L ，所以减少了部分任务的 B 也一定存在合理的调度使得总惩罚为0，故M具有遗传性。
交换性：对任意A∈L，B∈L，设|A|<|B|，显然 A 中存在任务 x 满足x∈B，x∉A ，我们取其中完成期限最靠后的一个任务 x’ 。
令集合P = A $\cap$ B, 我们便令A’= A-P ,B’= A-P，显然|A’|<|B’|，由 B∈L 我们知道在 x’ 完成期限之前至少可以合理调度|B’|个任务，又因为|B’|>|A’|，所以在 A’ 的合理调度中一定存在位于 x’ 完成期限前的空余时间，在此安排 x’ 一定不会增加新的惩罚。
因此A∪{x’}∈L , M 具有交换性。

如何设计权值函数呢？在这里我们令元素的权值w(x)= $w_x$ ，即惩罚。
在这样设计权值函数之后，我们可以先把所有任务没有完成的的惩罚统计出来。再计算上述拟阵的权值最大独立集(即最多免受的惩罚)，两者相减即是答案。

这里的贪心策略是：对于任务ai，其截止时间是d[i], 贪心策略是尽量将任务ai安排在距离截止时间最近的空闲时间片；（这样将更早的时间片留给更需要的任务）

如何判断独立集.即贪心策略

练习

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5-1

在这里插入图片描述

根据贪心策略，安排76543的任务
任务1，2安排不了，即罚款总值w1+w2= 30

5-2

IS-INDEPENDENT(A)n = A.lengthlet Nts[0..n] be an array filled with 0sfor each a in Aif a.deadline >= nNts[n] = Nts[n] + 1elseNts[d] = Nts[d] + 1for i = 1 to nNts[i] = Nts[i] + Nts[i - 1]// at this moment, Nts[i] holds value of N_i(A)for i = 1 to nif Nts[i] > ireturn falsereturn true