数值运算的核心是指加、减、乘、除四则算术。由于计算机中的数有定点和浮点两种表示形式，因此相应有定点数的运算和浮点数的运算。本文将介绍计算机中定点数的加减法运算过程。

注意，理解本文的前提是要清楚知道顶点数的源码、反码和补码的含义，以及定点数在计算机中的表示形式。

1.补码加法

由于计算机中定点数均以补码的方式表示和存储，采用补码表示法进行加减运算比原码方便多了，因为不论是正还是负，机器总是做加法，减法运算可变成加法运算。

这里再次说明定点定点数（定点整数和定点小数）的源码、反码和补码的表示规则：
正数的符号位为0，反码和补码等同于源码。
负数符号位都固定为1，源码，反码和补码的表示都不相同，由原码表示法变成反码和补码有如下规则：
（1）源码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；
（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。

1.1 补码加法公式

补码加法公式是：
$$[x{]}_{补}+[y{]}_{补}=[x+y{]}_{补}(mod{2}^n)$$
这里说一下上面公式的意思。$mod{2}^n$表示的是模运算，$2^n$为模，这个模表示被丢掉的值。上面的式子在数学上成为为同余式，即等式两边的值取$2^n$的余数是相等的。

以钟表为例，说明模运算。一个钟表有12个小时刻度，时间确实0-24小时。假设现在的标准时间是4点整，而有一个表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7-4=3格；二是将时针向前拨12-3=9格。这两种方法都能对准到4点。由此可见，7-3和7+9是等价的。等价的条件就是以模为12的模运算的情况下等价，即除以12取余。以数学公式表示如下：
$$7-3=7+9(mod12)$$

1.2 补码加法公式证明

可分五种情况来证明。假设采用定点整数表示。不包括溢出情况，该情况会另行讨论。

（1）x>0, y>0, 则x+y>0
由补码定义，$[x{]}_{补}=x,[y{]}_{补}=y$, 所以$[x{]}_{补}+[y{]}_{补}=x+y=[x+y{]}_{补}$

（2）x<0, y<0, 则(x+y)<0
$$[x{]}_{补}+[y{]}_{补}=2^n+x+2^n+y=2^n+(2^n+x+y)=[x+y{]}_{补}$$

（3）x>0, y<0, 则(x+y)<0或(x+y)>0
相加的两数一个为正，一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义：$[x{]}_{补}=x,[y{]}_{补}=2^n+y$，那么
$$[x{]}_{补}+[y{]}_{补}=x+2^n+y=2^n+(x+y)=[x+y{]}_{补}$$

（4）x<0, y>0, 则(x+y)<0或(x+y)>0
这种情况和第三种情况一样，将x和y对调即可，不再赘述。

（5）当x=0或者y=0，或者x=y=0时
满足$[x{]}_{补}+[y{]}_{补}=[x+y{]}_{补}(mod{2}^n)$。

因此在模$2^n$的意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。这是补码加法的理论基础。

2.补码减法

负数的加法要利用补码化为加法来做，减法运算当然也要设法化为加法来做。其所以使用这种方法而不适用直接减法，是因为它可以和常规的加法运算使用同一加法器电路，从而简化了计算机的设计。

定点数用补码表示时，减法运算的公式为：
$$[x{]}_{补}-[y{]}_{补}=[x{]}_{补}+[-y{]}_{补}$$

为了证明这个公式，只要证明$[-y{]}_{补}=-[y{]}_{补}$，上式即得证。

证明如下：
因为$[x{]}_{补}+[y{]}_{补}=[x+y{]}_{补}$，所以
①$ [y]_补= [x+y]_补–[x]_补$

又$[x–y{]}_{补}=[x+(–y）{]}_{补}=[x{]}_{补}+[–y{]}_{补}$，所以
②$[–y{]}_{补}=[x–y{]}_{补}–[x{]}_{补}$

①+②得$[–y{]}_{补}+[y{]}_{补}=[x–y{]}_{补}–[x{]}_{补}+[x+y{]}_{补}–[x{]}_{补}=[x–y]补+[x+y]补–[x]补–[x]补=[x–y+x+y]补–[x]补–[x]补=[2x]补–2[x]补=0$

从而有 $[–y]补=–[y]补(mod{2}^n)$

因此，只要求得$[–y{]}_{补}$，就可以变减法为加法，已知$[y{]}_{补}$，求$[–y{]}_{补}$的法则是：

对$[y{]}_{补}$各位（包括符号位）取反，然后在末位加上1，就可以得到$[–y{]}_{补}$。

示例：
$[X{]}_{补}=00110110，[Y{]}_{补}=11001101$，求$[X{]}_{补}+[Y{]}_{补}，[X{]}_{补}-[Y{]}_{补}$ ，其中x=54，y=-51。

3.溢出概念与检测方法

3.1 溢出的概念

在定点整数机器中，数的表示范围$|x|<(2^n-1)$。在运算过程中如出现大于字长绝对值的现象，称为“溢出”。在定点机器中，正常情况下溢出是不允许的。

例：设定点整数字长8位，补码表示（最高位为符号位），表示范围为-128~127，运算结果超出此范围就发生溢出。

两个负数相加的结果小于机器所能表示的最小负数，结果变为负数，成为负溢。

两个正数相加，结果大于机器字长所能表示的最大正数，结果成为变为负数，称为正溢。

下面以具体的例子来演示正常的运算和溢出时的运算。

3.2 溢出的检测方法

为了判断溢出是否发生可采用以下两种检测方法。

（1）单符号法
当两个操作数同号时，而其和的符号与操作数的符号不一致则就发出溢出，公式表示如下：
$$溢出={\overline{A}}_n{\overline{B}}_n{S}_n+A_n{B}_n{\overline{S}}_n$$

注意：
a、若是同号相减或异号相加，则运算结果不可能溢出；
b、若是同号相加或异号相减，则运算结果可能溢出。

（2）采用最高有效位的进位判断
$$溢出={\overline{C}}_n{C}_{n-1}+C_n{\overline{C}}_{n-1}={\overline{C}}_n⨁{\overline{C}}_{n-1}$$

符号位产生的进位与最高有效位产生的进位情况不同，则溢出。

（3）采用变形补码判断(双符号位)
用$S_{n+1}、Sn$分别表示结果最高符号位和第2个符号位。
$$溢出=S_{n+1}⨁S_n$$
01：结果正溢;
10：结果负溢;

定点整数的加减运算完成之后，会由硬件逻辑电路进行溢出检测，如果发现存在溢出，则产生硬件中断 。

#4.定点小数的加减运算法则
定点小数是定点数的一种，其运算法则和步骤与定点整数一致，不再赘述。下面举个仅以双符号位补码来表示定点小数的补码加减运算示例。

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参考文献

[1] 计算机组成原理第四版[M].白中英.科学出版社
[2] 百度文库.定点数加减法