1.定点数的表示形式

定点数指小数点在数中位置固定不变的数。

定点数分为定点整数和定点小数，由于小数点位置固定不变，所以存储时小数点不进行存储，按照约定的位置计算数值。原理上讲，小数点的位置可以位于任何位置，但通常将定点数表示成纯小数或纯整数。

假设以机器字长 n 位表示定点数，从右至左，从低位到高位分别为 x1，x2，x3…xn-1，xn，其中 xn 取值 0 和 1 分别表示正号和负号。如此，对于任意一个定点数 $x = x_nx_{n-1}...x_2x_1$ ，在定点机器中可表示为：
这里写图片描述
如果 x 表示的是纯小数，那么小数点位于 $x_n$ 与 $x_{n-1}$ 之间，如果 x 表示的是纯整数，那么小数点位于 x1 的右边。

2.定点数的原码、反码与补码

定点数是我们日常生活中使用的数，比如十进制定点正整数 $53_{10}$ ，二进制表示为 $110101_2$ ，我们看不到小数点，但可以认为小数点在数值最后一位的后面，省略不写。二进制 $110101_2$ 即为 $53_{10}$ 原码。对于负整数的表示，由最高位符号位为 1 表示负数，假如使用 8 位来表示 $53_{10}$ ，那么 -53 的原码为 $10110101_2$ 。实际上，计算机对定点数的存储采用补码的形式，原码到补码的转换规则如下：

正数：原码=反码=补码
负数：
反码=原码符号位为1不变，其它位取反
补码=反码+1

需要注意的是，定点小数的补码由反码加 1，这个“1”是加在小数部分的最后一位。

以 8 位为例，53 与 -53 的原码、反码与补码具体表示如下：

[53]原=[53]反=[53]补=00110101
[-53]原=10110101
[-53]反=11001010
[-53]补=11001011

负整数的补码与原码不同，为何计算机中负整数的补码计算规则采用上述方式呢？因为计算机为了便于运算，将减法变为加法，才将整数以补码的形式存储。以时钟为例，假设现在1点，时钟为4点，将时钟矫正有两种方式，一是将时针后退4-1=3格；二是将时针向前拨 12-3=9 格。由此可见，减3和加9是等价的，因为9是（-3）对12的补码，数学公式为：

-3=+9 (mod 12)

上式在数学上为同余式，mod 12 表示 12 是模数。以计算机中 32 bits 有符号整型数值为例，除去一个符号位，数值位共 31 位，那么模是2^31。

对于定点数，由补码转换为十进制数值的规则如下：

十进制数值=(-1)*符号位*位权+其它位*位权

根据上面的转换规则，正整数补码 $00110101_2$ ，转换为十进制数值过程如下：

=(-1)*0*27 + 1*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0
= 32 + 16 + 4 + 1
= 53

对于负整数 $53_{10}$ 的补码 $11001011_2$ 转为 $53_{10}$ 的过程如下：

(-1)*1*2^7+1*2^6+0*2^5+0*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0
=-128+64+8+2+1
=-53

当 53 除以 2 得到的结果是26.5，此时 26.5 为十进制定点小数，转换为二进制为 $11010.1_2$ 。类似于定点二进制整数转换为十进制整数，根据每个比特位的位权，同样可以将定点二进制小数转换为十进制小数，转换过程如下：

= 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 + 1*2^-1
= 16 + 8 + 2 + 0.5
= 26.5

3.定点小数注意事项

对于定点小数的存储，实际上，计算机不存储小数点，但小数点的位置必须知道，不然计算机无法知道真实数值。

计算机作何知道小数点的位置呢？那么就需要有一个定点小数的规范。假设机器字长 8 bits，我们规定从左至右，第一位为符号位，接着后 5 位表示定点小数的整数部分，后两位表示定点小数的小数部分。那么 $26.5_{10}$ 的实际存储形式为 01101010。由于对定点小数并无统一的规范，且数值表示的范围和精度有限，所以普通计算机对于小数的表示采用浮点数形式，C/C++ 中也没有定点小数类型，一般使用单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double 来表示小数。