NURBS曲线

NURBS曲线（非均匀有理B样条）是由分段有理B样条多项式基函数定义的，k阶NURBS曲线的定义如下：

$P(t)=\frac{{\sum }_{i=0}^n{w}_i{P}_i{N}_{i,k}(t)}{{\sum }_{i=0}^n{w}_i{N}_{i,k}(t)}={\sum }_{i=0}^n{P}_i{R}_{i,k}(t)$

$R_{i,k}(t)=\frac{w_i{N}_{i,k}(t)}{{\sum }_{j=0}^n{w}_j{N}_{j,k}(t)}$

NURBS曲线的性质

$R_{i,k}(t)$具有k阶B样条基函数类似的性质

1. 局部支撑性：$R_{i,k}(t)=0$, $t\notin [t_i,t_{i+k}]$
2. 权性：${\sum }_{i=0}^n{R}_{i,k}(u)=1$
3. 可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在节点处(k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度

NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质

1. 局部性质
2. 局变差减小性质
3. 凸包性
4. 在仿射与透射变换下的不变性
5. 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性
6. 如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响

圆锥曲线的NURBS表示

取节点向量$T=[0,0,0,1,1,1]$，为则NURBS曲线退化为二次Bézier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。

$P(t)=\frac{(1-t^2)w_0{P}_0+2t(1-t)w_1{P}_1+t^2{w}_2{P}_2}{(1-t^2)w_0+2t(1-t)w_1+t^2{w}_2}$

其中，$C_{sf}=\frac{w_1^2}{w_0{w}_2}$ 称为形状因子，$C_{sf}$ 的值确定了圆锥曲线的类型

$C_{sf}=1$ 时，上式是抛物线弧
$C_{sf}\in (1,\infty )$ 时，上式是双曲线弧
$C_{sf}\in (0，1)$ 时，上式是椭圆弧
$C_{sf}=0$ 时，上式退化为一对直线段P0P1和P1P2
$C_{sf}\to +\infty$ 时，上式退化为连接两点P0P2的直线段

NURBS曲线的修改

常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点

1. 修改权因子: 当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶点
2. 修改控制顶点: 修改控制顶点的位置，曲线随之变形
3. 反插节点法

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NURBS曲面

定义

$P(u,v)=\frac{{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{w}_{ij}{P}_{ij}{N}_{i,p}(u)N_{j,q}(v)}{{\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{w}_{ij}{N}_{i,p}(u)N_{j,q}(v)}={\sum }_{i=0}^m{\sum }_{j=0}^n{P}_{ij}{R}_{i,p;j,q}(u,v)$, $u,v\in [0,1]$

$R_{i,p;j,q}(u,v)=\frac{w_{ij}{N}_{i,p}(u)N_{j,q}(v)}{{\sum }_{r=0}^m{\sum }_{s=0}^n{w}_{rs}{N}_{r,p}(u)N_{s,q}(v)}$

规定四角点处用正权因子，即$w_{00},w_{m0},w_{0n},w_{mn}>0$，其余$w_{ij}\ge 0$

性质

与非有理B样条基函数相类似的性质：

1. 局部支承性质
2. 权性
3. 可微性：在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次连续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可微
4. 极值.若p，q>1，恒有一个极大值存在
5. 是双变量B样条基函数的推广