灰色关联分析（Grey Relation Analysis，GRA）

灰色系统

这个概念的提出是相对于白色系统和黑色系统而言的。在控制理论中，颜色一般代表的是对于一个系统我们已知的信息的多少，白色系统就代表信息完全明确，比如一个具体的力学系统，元素之间的关系都是能够确定的，这就是一个白色系统；而黑色系统代表我们对于其中信息完全不明确，黑箱或黑盒的就是这类系统。灰色介于两者之间，表示我们只对该系统有部分了解，部分信息明确，部分信息不明确。

作为实际问题，灰色系统是大量存在的，绝对的白色或者黑色系统是很少的。

灰色关联度分析

灰色关联分析是指对一个系统的发展变化态势的定量描述与比较的方法，基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，越相似就说明关联度越大。

简单来讲，就是在一个灰色系统中，想要了解所关注的某个指标项目受其他因素影响程度的相对强弱，可以对这些影响因素进行排序，得到分析结果，便可得到所关注的这个指标与哪些因素更相关，进而有效地调整系统的运行。

数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等都是用来进行系统分析的方法，但存在局限性：要求有大量数据和要求样本服从某个典型的概率分布，要求各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且各因素之间彼此无关。而灰色关联分析的方法可以有效弥补上述方
法的局限性。

灰色关联分析的步骤

在这里插入图片描述

确定关注的指标，即“参考序列”，使用序列 $x_{0}$ 表示

确定需要确定顺序的因素序列，即“比较序列”，使用序列 $x_{i}(i=1,2...N)$ 表示
确定指标是否能充分解释说明要探究的问题，需要对选取的指标进行检验，即验证所选指标的显著性

可以使用SPSS做相关性分析

（当不确定比较序列的显著性时，需要进行此步骤）
无量纲化

因为以上的每种序列数据都有不同的单位，因此可能会有的数字很大有的数字很小，但是这并不是由于它们内在的性质决定的，而只是由于量纲不同导致的，因此我们需要对它们进行无量纲化。
1. 初值化：即，把某一序列的数据统一除以最初的值，由于同一个序列的数据量级差别不大，所以通过除以初值就能将这些值都整理到1这个量级附近。
  $X_{i}(k)=\frac{x_{i}}{x_{i}(1)}(k=1,2,...m;i=1,2,...N)$
  其中， i表示第i个指标，k表示某一指标的具体维度数据， $x_{i(1)}$ 表示第i个因素的第一个维度值
2. 均值化：即，把某一序列的数据除以均值，由于数量级大的序列均值比较大，所以除掉以后就能归一化到1的量级附近。
  $X_{i}(k)'=\frac{x_{i}(k)}{mean(x_{i})}$

对归一化以后的数据，曲线的形状的差异减小，绝对数值不会对后面的计算有影响。

计算比较序列的灰色关联系数

所谓关联程度，实质上是曲线间几何形状的差别程度。因此曲线间差值大小，可作为关联程度的衡量尺度。

故，我们可以计算参考数列与比较数列的灰色关联系数 $ξ(x_{i})$

对于一个参考数列X0有若干个比较数列X1, X2,…, Xn，各比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数 $ξ(x_{i})$ 可由下列公式算出：

$a=max(|x_{0}(k)-x_{i}(k)|)$

所有比较序列的各个维度中距离参考序列最大的值

$b=min(|x_{0}(k)-x_{i}(k)|)$

所有比较序列中各个维度中距离参考序列最小的值
$γ(x_{0}(k),x_{i}(k))=\frac{a+ρb}{|x_{0}(k)-x_{i}(k)|+ρb}$
其中 ρ是控制 $γ$ 系数区分度的一个系数，ρ取值0到1， ρ越小，区分度越大，ρ一般取值0.5较为合适， $γ$ 关联系数取值落在0到1之间。

关于ρ的具体分析

计算每个比较序列的关联度

因为关联系数是比较序列与参考序列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它不止一个。

而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示。

某个比较序列对参考序列的关联程度计算公式如下：
$γ(x_{0},x_{i})=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n γ(x_{0}(k),x_{i}(k))$
得到每个比较序列的关联序

因素间的关联程度，主要是用关联度的大小次序描述，而不仅是关联度的大小。

将m个子序列对同一母序列的关联度按大小顺序排列起来，便组成了关联序，它反映了对于参考序列来说各比较序列的“优劣”关系。