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最近写交通运输经济学作业，遇到一个求解最小飞机运输成本的整数规划问题，就尝试着实现了一个简单的遗传算法进行求解，效果还行，故记录下来。同时也记录一下实现遗传算法的一些细节，以及实现过程中的一些想法。这里的遗传算法代码可以简单迁移到类似的整数规划任务上。

在开始阅读之前，可以先看看这篇文章：

袋鼠蹦跳：https://www.jianshu.com/p/ae5157c26af9

一、算例与代码

1.1 问题与思路

简化后的问题如下：
从机场A到机场B有两种飞机可用于航班飞行：一种是20座的小飞机，每排班一架所需的成本是4万美元；另一种是150座的大飞机，每排班一架所需的成本是15万美元。

求解：若某天有$N$个乘客（在本题中大约几千个）需要从机场A去机场B，应排班多少架大飞机，多少架小飞机，使得在满足所有乘客出行需求的前提下，总的运输成本最小？

思路1：
这是一个简单的整数规划问题，其求解目标与约束条件如下：

$$\begin{gathered} Mincost=4x+15y \\ s.t.20x+150y\ge N \\ x,y\ge 0;x,y\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

其中$x$是所需小飞机数量，$y$是所需大飞机数量，求解即可得到x、y。求解方法有分支界定、割平面等方法，也可以用python的cvxpy库、matlab等方式求解。

思路2：
但是实际上，在解这个问题时，没有人会去写上述的整数规划表达式，再解这个式子。

比较自然的想法是：既然大飞机的性价比较高，那么可以先尽量排满大飞机，直到剩下的一部分乘客不足以坐满一架大飞机。对于剩下的乘客，再尝试一下用多架小飞机，与用一架大飞机全部装载的成本，选择成本较低的方案即可。

从感觉上来说，我们通过分析和经验，能够大概猜到最优解在哪个范围（飞机数量不能太少否则载不完乘客，优先使用大飞机），然后我们在这个范围中多调整几次（试一下最后用一架大飞机还是多架小飞机装载），就可以找到最优解了。

思路3：
回想一下思路2中“自然的想法”，我的具体的思考过程是这样的：

• 我拿到这个问题的时候，自然的去想象一些不同的情况，在脑中模拟了一下不同乘客数、不同飞机数量、不同飞机类型下的具体情境，就能够发现一些规律：飞机越多，能装载的乘客数越多，越能轻松的载完所有乘客；但是飞机不能太多，否则会多出无意义的成本；尽量让所有飞机满载可以降低成本；在搭载同样数量乘客且满载时，大飞机成本更低
• 总结出了一些规律，我对最优解的范围已经有了一定的感觉：首先最优解时大部分的飞机都应该处在满载状态，并且能够装完所有乘客；最优解情况下若能满载，一定会优先使用大飞机载客。所以先把乘客尽量用大飞机装满
• 如果最后一架大飞机载不满，这时可能用多架小飞机省钱，也可能用一架大飞机省钱
• 最后确定最优解，只需要把这两种情况算一算，比较一下就行了。思路2中自然的想法随即产生

总结一下，“自然的想法”来源于这样一个过程：尝试–>总结现象，发现规律–>通过规律缩小最优解范围–>没法在缩小最优解范围–>把范围内的解都尝试一遍，找到最优解。

把范围内的解都尝试一遍，就是在范围内不断采样，不断计算，类似于通过排除法缩小最优解范围，直到找到最优解。

找规律的尝试，最后试解，都可以形容为一个随机采样的过程。不断用找到的规律缩小最优解范围，最后采样试解缩小最优解范围，则可以形容为一个调整逼近的过程。

这时候，我产生了一个大胆的想法：在思路2中调整逼近最优解，用了两个策略——找规律与随机采样，而找规律本身也依赖于随机采样。那么我们能不能仅通过随机采样，不总结规律，直接进行调整逼近呢？

这就是遗传算法的整体思路：在解空间中随机采样很多个解–>挑出一些较好的解–>在较好的解附近采样，得到很多新解–>重复进行上述第二、第三步，直到新解收敛到最优解。

其他博客的对应表达为：初始化种群–>评估个体适应度与自然选择–>交叉与变异–>演化迭代

比起其他博客从进化的过程阐述，我更倾向于把遗传算法描述成一种采样逼近的求解策略。采样就是初始化种群、交叉与变异。逼近就是自然选择，而交叉本身也暗含逼近。

这套求解策略十分巧妙，具体的原理将会在第三部分简要分析。先上代码、实现细节、一些处理策略。

1.2 代码

下面是整数规划的遗传算法代码实现，有一些实现细节与其他博客不同，不过解决这个简单整数规划的效果还是不错的。当问题复杂后可能要增加初始化种群的规模与迭代次数，或者更改自然选择策略。
首先调库：

import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt

遗传算法代码（一行流版）：输入乘客数，输出最优方案与对应运输成本

def get_plan_based_on_GA(cks):zq=np.random.randint(0,2,(1000,10+7)) #初始化种群，编码encoder：17位二进制数字，小飞机10位大飞机7位，即乘客上限20480+19200人decoder=lambda x:np.sum(np.power(2,np.arange(x.shape[-1]-1,-1,-1))*x, axis=1).reshape((-1,1)) #二进制转十进制singlepoint_crossover=lambda x,po=random.randint(0,zq.shape[1]-3):np.hstack((x[0][:po],x[1][po:po+3],x[0][po+3:])) #单点交叉,输入[[编码1],[编码2]]costlist=[]for _ in range(10):plan=np.hstack((decoder(zq[:,0:10]),decoder(zq[:,10:17]))) #将二进制编码解码为方案kill=np.dot(plan,np.array([[20],[150]])) < cks #选出承载力小于乘客人数的方案zq=np.delete(zq, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体plan=np.delete(plan, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体cost=np.dot(plan,np.array([[4],[15]])) #运输成本select=np.max(cost)/cost #选择概率，成本越小，select概率越大deleteindex=np.argsort(select.reshape(-1))[:int(select.shape[0]*0.7)] #贪心选择，对选择概率排序然后删除后0.7，保留前0.3zq=np.delete(zq, deleteindex, axis=0) #进行选择，得到选择后的新种群jc=np.array([singlepoint_crossover(zq[np.random.randint(0,zq.shape[0],(2))]).tolist() for o in range(700)]) #得到交叉的子群by=np.abs(jc-(np.random.random(jc.shape)>0.95)) #变异，有0.05概率把对应位置值换一下zq=np.vstack((zq,by)) #将父代与子代拼起来，得到新种群costlist.append(np.min(cost)) #记录最小开销plt.plot(range(len(costlist)),costlist)return plan[np.argmin(cost)], np.min(cost)
print(get_plan_based_on_GA(5644))

代码的实现尽量利用numpy并行处理避免循环，为了整体思路清楚尽量用一行代码实现一个功能。代码的实现细节会和遗传算法的具体实现一起在下文说明。

二、实现细节

这个部分按照代码的逻辑顺序介绍了实现细节，并穿插了一些个人对于遗传算法的理解。

一些名词的对应关系：
种群$=$一堆个体（这里是1000个）的集合$=$一堆解的集合$=$一个1000×17的0-1二维张量
个体$=$染色体=一个解$=$一个排班方案$=$一个17维0-1向量
父代$=$自然选择后的种群$=$原一堆解中的较优可行解$=$父代个体个数×17维的0-1二维张量
子代$=$父代交叉变异后得到的新子群$=$一堆新解$=$子代个体个数×17维的0-1二维张量

2.1 什么是种群

种群其实就是一堆解，初始化种群其实就是在解空间中随机采样一堆解。代码实现非常简单，就是生成一个1000×17的随机0-1矩阵，相当于随机采样了1000个解，生成了1000个个体。

zq=np.random.randint(0,2,(1000,10+7)) #初始化种群

但是根据原始的问题，我们要求的目标只有两个：小飞机数量x和大飞机数量y。也就是说，解应该是一个二维非负整数向量$(x,y)$，为什么这里的解变成了一个17维0-1向量？这就涉及到编码与解码。

2.2 编码与解码

编码实际上就是建立一个一一对应的映射规则，把原来的解空间映射到高维的解空间，因此可以认为每个个体就是一个解。在这里用的是二进制编码。二进制编码有一些优秀的性质，方便进行遗传算法的变异、交叉，在后文会进行分析。

这里的编码规则是：将小飞机数量$x$用10位二进制（换成10进制最大是1024）表示，大飞机数量$y$用7位二进制（换成十进制最大是128）表示，然后将这两个二进制数拼成一个17维0-1向量。

这样小飞机最多可以安排1024架，最多搭载20480人；大飞机最多可安排128架，最多搭载19200人。由于求解的乘客数大概是几千人，这样编码为乘客数留出了很多冗余，能够保证解空间覆盖最优解。

解码就是简单的将二进制数转化为十进制即可，具体的二进制、十进制转化的操作可以看这里：https://zhuanlan.zhihu.com/p/75291280

如下图所示，某一个体解码出来的排班计划是：小飞机207架，大飞机38架。

在实际的编程过程中，利用numpy并行化的特点，可以不必使用循环，直接用decoder处理矩阵，从种群矩阵zq直接计算排班方案矩阵plan（也就是解）。

decoder=lambda x:np.sum(np.power(2,np.arange(x.shape[-1]-1,-1,-1))*x, axis=1).reshape((-1,1)) #二进制转十进制
plan=np.hstack((decoder(zq[:,0:10]),decoder(zq[:,10:17]))) #将二进制编码解码为方案

代码图示：

按照之前的思路，我们已经完成了第一步：在解空间中随机采样很多个解，接下来只要求出每一个方案的对应成本，选出部分成本较小的方案（也就是比较好的解）作为新种群，然后交叉变异迭代即可。但是在这之前，还有一个问题需要解决。

2.3 如何处理约束

显然，在这些随机采样得到的解当中，有部分方案无法将乘客载完（也就是不满足约束条件$20x+150y\ge N_{passengers}$）。如果不考虑约束，只是单纯的按照每个解求得的成本大小排序，那么最终必然收敛到$x=0,y=0$，根本无法求得可行解，更不用说最优解了。

因此，在选出较好解之前，必须先将不满足约束条件的解去掉，然后在剩下的解中再求成本，选出较好解。形象的讲，处理约束，相当于清理种群，先将种群中不符合约束条件的个体“杀死”。

代码实现是求一个kill矩阵，符合约束的位置是False，不合约束的位置是True。然后在种群中直接删除kill矩阵的对应位置。

kill=np.dot(plan,np.array([[20],[150]])) < cks #选出承载力小于乘客人数的方案
zq=np.delete(zq, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体
plan=np.delete(plan, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体

这样种群中剩下的解都是可行解了，接下来就可以进行第二步：挑出一些较好的解，也就是进行自然选择。

cost=np.dot(plan,np.array([[4],[15]])) #运输成本
select=np.max(cost)/cost #选择概率，成本越小，select概率越大
deleteindex=np.argsort(select.reshape(-1))[:int(select.shape[0]*0.7)] #贪心选择，对选择概率排序然后删除后0.7，保留前0.3
zq=np.delete(zq, deleteindex, axis=0) #进行选择，得到选择后的新种群

在代码中，我们先求出清理后的种群中每个个体的成本值矩阵cost，然后通过成本值（优化目标）求每个个体的选择概率矩阵select，越好的解（成本越小）被选择的概率就越大。

在这里为了简化问题，直接使用贪心策略选择个体，删除选择概率位于后百分之70的个体。这样便得到了自然选择后的种群，也就是挑出了一些比较好的解。留下来的个体作为父代进行第三步。

如果使用“轮盘赌”策略选择个体，那么处理约束时可以不用清理种群，只需要在计算选择概率时，减小不符合约束的个体的选择概率。

具体操作是：求kill矩阵变成求一个mask矩阵，符合约束的位置是1，不合约束的位置给一个很小的值。用成本求得选择概率后，乘这个mask即可。这样不合约束的个体，选择概率就会变得很小，等价于一个很差解，被自然选择淘汰。

接着在后面交叉那行使用np.random.choice(zq.shape[0],2,p=select.reshape(-1))来代替np.random.randint(0,zq.shape[0],(2))。select要除np.sum(select)，处理成和为1的概率分布（贪心策略里没必要做这个处理，为了简单就不多写一行了）。

经过实际测试，在这个问题中轮盘赌策略收敛的很慢，大概要比贪心策略多迭代十倍才能收敛到最优解。同时choice函数的效率很低，同样的迭代次数下耗时要增加五六倍。

2.4 如何从较好解获得新的解

第二步完成，进入第三步：在较好的解附近采样，得到很多新解。具体是通过交叉与变异实现的。

在说明交叉与变异的意义前，先看看如何通过交叉与变异得到新的解，并进一步得到新的种群，完成遗传算法的一次迭代。

singlepoint_crossover=lambda x,po=random.randint(0,zq.shape[1]-3):np.hstack((x[0][:po],x[1][po:po+3],x[0][po+3:])) #单点交叉,输入[[编码1],[编码2]]
jc=np.array([singlepoint_crossover(zq[np.random.randint(0,zq.shape[0],(2))]).tolist() for o in range(700)]) #得到交叉的子群
by=np.abs(jc-(np.random.random(jc.shape)>0.95)) #变异，有0.05概率把对应位置值换一下
zq=np.vstack((zq,by)) #将父代与子代拼起来，得到新种群

交叉：
在这里，我使用了一个函数singlepoint_crossover，实现了最基本的单点交叉遗传。单点交叉遗传可以参考这篇文献：https://blog.csdn.net/ztf312/article/details/82793295

具体来讲，交叉就是在父代种群（自然选择后剩下的个体）中，随机选择两个个体作为父代，然后随机选择一段片段（代码中长为3），用其中一个父代的片段替换另一个父代的对应位置，就产生了一个子代个体。

在代码中，这个随机选择的过程进行了700次，产生了700个子代。这700个子代被拼成了一个700×17的矩阵jc（交叉），代表子代种群。

一次交叉的过程：

变异：
变异的实现比较简单，就是按照一定概率将子代的值改变。在代码中只对子代种群（也就是jc矩阵）进行变异，不对父代种群做任何处理。变异的策略如下：
$$by\leftarrow abs(jc-1)$$
当原先值为1，变异后的值改变为0；原先值为0，变异后值改变为1。在代码中直接用jc减去一个随机0-1矩阵后取绝对值，其中的值有0.05的概率取1（也就是变异概率为0.05），完成变异。

拼接：
在通过交叉得到子代，对子代进行变异处理后，我们将父代与子代拼在一起，就得到了新的种群。拼接操作的意义是：让优秀的原先解不会丢失，又采样了周围的新解。

交叉变异拼接后，遗传算法的一次迭代完成，第三步完成。

将新的种群作为下一次迭代的初始种群，不断进行第四步：重复上述过程，最后就可以收敛到最优解了。

三、反思：真的是采样逼近吗 / 消融实验

在这个部分，我做了一些尝试与可视化，并试着解释一下遗传算法背后的道理。

这里所说的解的远近可以近似的理解为解向量的相似度，相似度高的解一般空间直线距离近，相似度低的一般空间直线距离远。

根据我的理解，遗传算法中出现了两种随机采样策略：
初始化种群——全局采样
交叉——附近采样
变异——全局采样

在运行下列每段代码前，首先调库并设置一些画图参数，这些参数能避免乱码并提高生成图片的分辨率：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import time
plt.rcParams['font.sans-serif']='SimHei'
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
plt.rcParams['savefig.dpi'] = 300
plt.rcParams['figure.dpi'] = 300

3.1 最优解和较好解的关系 / 遗传算法为什么可行

很多问题都拥有类似局部的凸优化的性质：更好的解位置在一群较好解的中间；越接近最优解、局部最优解的解越好；越接近最优解、局部最优解，较好解越密集，这有一些“近朱者赤”的意思。这个性质是遗传算法能够成功的关键。当解决的问题失去了这个性质后，遗传算法就退化为完全随机采样。

拿我们举例的整数规划问题来说，这个性质十分明显：例如飞机数越是增加，离最优解就越远，成本越高，这个解就越差；飞机数越小，就越是不能载满所有乘客，这个解就越是不符合约束。因此，当解距离最优解越近的时候，这个解的表现就越好。

例如在乘客数为5644时：

解[小飞机数, 大飞机数]	成本增加率	无法搭载的乘客比例	主观评价	离最优解距离$\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$
[0, 38]	0	0	最优解	0
[5, 39]	16%	0	较好解	5.09
[200, 50]	172%	0	较差解	200.3
[5, 36]	-12%	2%	较好解	5.83
[20, 10]	-40%	66%	较差解	32.8

拿一些其他博客的优化问题来说，一些典型的问题的解空间类似这样：
https://blog.csdn.net/google19890102/article/details/30044945

如果优化目标是函数值最小，那么很容易发现，距离最优解、局部最优解越近的解，用这个解计算的函数值就越小，这个解就越好。

反过来讲，如果我们找到了一群比较好的解，那么最优解或局部最优解大概率就在这些解的中间某处。

回想一下遗传算法的基本思路：在解空间中随机采样很多个解–>挑出一些较好的解–>在较好的解附近采样，得到很多新解–>重复进行上述第二、第三步，直到新解收敛到最优解。

我们发现，就这副图片的问题而言，如果在较好解附近采样新解，很有可能会得到更好的解；每次迭代都淘汰一些不那么好的解，到最后很可能会把一些局部最小值点淘汰（因为它们相对于最优解附近的解来说不够好）。像这样，通过采样——筛选好解——在好解周围继续采样——继续筛选，就可以慢慢的把解变得越来越好，这就是上文说的采样逼近。

这样一来，只要初始化时随机采样的解非常多，就有很大的概率能够覆盖在所有局部最优点周围，采样逼近就可以正常进行。同时，遗传算法的变异机制也保证了算法能够有机会随机探索全局的解。

但是，如果较好解与更好解之间没有了联系，遗传算法就只能靠全局随机采样来慢慢尝试最优解，这时候变异就担负起探索全局的作用。不过实现机制中会保留找到过的最好解，因此只要迭代的够多，甚至多到遍历整个解空间，那么遗传算法一样可以找到最优解。

3.2 为什么交叉能得到更优解

交叉实际上就是一种在较好解附近采样的策略。根据上文所述的问题的特性，这个采样策略自然可以得到更优解。那么交叉具体是怎样一个采样策略呢？

先看一看二进制编码下，交叉时发生了什么事情。

decoder=lambda x:np.sum(np.power(2,np.arange(x.shape[-1]-1,-1,-1))*x, axis=1).reshape((-1,1))
def crossover(length=3): #随机生成父代，产生所有的交叉结果，返回子代，交叉片段长3fd=np.random.randint(0,2,(2,17))zd=np.zeros((1,17))for i in range(17-length):zd1=np.hstack((fd[0][:i],fd[1][i:i+length],fd[0][i+length:])).reshape((1,-1))zd2=np.hstack((fd[1][:i],fd[0][i:i+length],fd[1][i+length:])).reshape((1,-1))zd=np.vstack((zd,zd1,zd2))zd=np.delete(zd,0,axis=0)return fd,zd
# 画图
fig,axs=plt.subplots(nrows=2,ncols=3)
for i in range(2):for j in range(3):fd,zd = crossover(length=3)axs[i,j].scatter(decoder(zd[:,:10]), decoder(zd[:,10:]), alpha=0.8, s=5, label='子代个体')axs[i,j].scatter(decoder(fd[:,:10]), decoder(fd[:,10:]), c='red', s=16, label='父代个体')
plt.legend()

在这段代码中，我们多次随机生成两个二进制编码父代，然后进行交叉，遍历了其所有可能得到的子代。然后将父代与子代解码为解(x, y)，在图中画出。最后的结果如下图所示：

可以看出，父代产生的子代都分布在父代周围，给人的感觉就是在探索两个父代连线矩形的边与延长线，并且探索的大多是连线区域内的点，有较少的机会向外探索。探索的方式颇有“控制变量”的味道，即其中一个变量不变，另一个变量的值在两个父代值之间变化。

换句话说，子代的范围大多在这里面：
$$\begin{gathered} 父代:[x_1,y_1],[x_2,y_2] \\ 子代:[x,y]|x_1<x<x_2;y_1<y<y_2 \end{gathered}$$
这时候我们发现，交叉正是在两个较优解之间，按照“控制变量”的规则采样，生成新解。根据之前所说的问题特性：“更优解在较优解之间”，这个采样策略就可以采样到较优解间的更优解。

那么我们把多个父代放在一起，遍历它们所有的交叉结果，会发生什么呢？

fdzq=np.random.randint(0,2,(8,17))
zd=np.zeros((1,17))
for i,j in [(i,j) for i in range(8) for j in range(8)]:fd=np.vstack((fdzq[i],fdzq[j]))length=3for o in range(17-length):zd1=np.hstack((fd[0][:o],fd[1][o:o+length],fd[0][o+length:])).reshape((1,-1))zd=np.vstack((zd,zd1))
zd=np.delete(zd,0,axis=0)
#画图
plt.scatter(decoder(zd[:,:10]), decoder(zd[:,10:]), alpha=0.8, s=5, label='子代个体')
plt.scatter(decoder(fdzq[:,:10]), decoder(fdzq[:,10:]), c='red', s=16, label='父代个体')
plt.legend()

在这段代码中，我们随机产生了8个父代，然后遍历了它们之间所有可能的交叉结果，并作图。运行结果如下：

可以看到，在多个父代的时候，探索的区域大概就是以这些父代为交点的网状的区域。两个父代离得越近，在它们之间生成新子代的密度就越大。并且离父代越近，子代也就越密集。换句话说，交叉在探索新解的时候，父代越密集的地方，探索力度越大；越靠近父代，探索力度越大。

在这里，子代密度=采样密度=探索力度。

上文所说的问题特性之一是“越接近最优解、局部最优解，较好解越密集”。父代恰好是自然选择过的较好解，这样的采样策略正好是：对越可能出现更优解的地方，采样力度越大。因此交叉这个巧妙的技巧可以很好的探索更优解。

3.3 为什么交叉具有附近采样的特点

回忆一下二进制编码的方式：将小飞机数量用10位二进制表示，大飞机数量用7位二进制表示，然后将这两个二进制数拼成一个17维0-1向量。

二进制数在转十进制时有一个特点：二进制数越是高位的值改变，对十进制数的大小影响越大。也就是说二进制数的数量级主要取决于高位的数字是0还是1。

在交叉时，两个父代的片段进行交换。若交换的片段在低位，那么对十进制数的改变不大，子代值接近于原父代；若是出现在中间位置，由于没有影响到高位，因此改变的大小也有限，至少不会改变高位的数量级，子代值就在两个父代之间；若是出现在高位，那么被改变父代的值就会趋近于另一个父代，那么子代就趋于两个父代连成的矩形的另外两个交点上了。

不过无论如何，子代都不会远离父代好几个数量级。因此可以认为交叉拥有附近采样的特点。

因为编码比较长，而交换片段比较短，因此很难同时改变两个变量。这样交叉就出现了近乎“控制变量”的效果。

变异随机的改变某个位置的值，拥有在各个数量级上改变解大小的可能。因此变异具有全局采样的特点。

3.4 消融实验：你真的需要编码、变异与交叉吗

现在我们做减法，一点一点的将遗传算法的包装扒开，只保留随机采样、调整逼近的策略，看看让遗传算法拥有良好效果的是编码、变异与交叉本身其他的性质，还是随机采样的策略。

代码的运行结果放在3.4.4中统一展示。

3.4.1 二进制编码

我们先将二进制编码去掉。直接将方案$(x,y)$作为个体，把方案矩阵plan作为初始种群，进行交叉与变异。具体的策略如下：

• 随机采样，生成一个1000×2的整数矩阵plan，其中第一列代表小飞机数量，取值[0,1024]，第二列代表大飞机数量，取值[0,128]，这与前面二进制编码飞机数范围是一样的。
• 交叉是简单的将两个父代的取值平均再取整，模拟在两个较优解之间采样的策略，并保证整数约束成立（相比于正常的交叉少了很多采样的随机性，这里是为了方便）。
• 变异是按一定概率，对其中某个值增减一个0到100间的随机数，并取绝对值保证约束成立。

去掉二进制编码的算法代码如下：

def get_plan_based_on_GA_without_encoding(cks):plan=np.hstack((np.random.randint(0,1024,(1000,1)),np.random.randint(0,128,(1000,1))))average_crossover=lambda x:np.floor(0.5*(x[0]+x[1]))costlist=[]for _ in range(20):kill=np.dot(plan,np.array([[20],[150]])) < cks #选出承载力小于乘客人数的方案plan=np.delete(plan, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体cost=np.dot(plan,np.array([[20*0.2],[150*0.1]])) #运输成本select=np.max(cost)/cost #选择概率，成本越小，select概率越大deleteindex=np.argsort(select.reshape(-1))[:int(select.shape[0]*0.9)] #贪心选择，对选择概率排序然后删除后0.7，保留前0.3plan=np.delete(plan, deleteindex, axis=0) #进行选择，得到选择后的新种群jc=np.array([average_crossover(plan[np.random.randint(0,plan.shape[0],(2))]).tolist() for o in range(700)])by=np.abs(jc+(np.random.random(jc.shape)>0.8)*np.random.randint(-100,100,jc.shape))plan=np.vstack((plan,by)) #将父代与子代拼起来，得到新种群costlist.append(np.min(cost)) #记录最小开销plt.plot(range(len(costlist)),costlist,label='不编码/整数编码')return plan[np.argmin(cost)], np.min(cost)

这个算法是可以收敛的。

3.4.2 变异

既然去掉编码也可以成功，那么再大胆一些，把变异也去掉。

• 初始化种群的策略与3.4.1一样，随机采样plan矩阵作为初始种群。
• 由于去掉了变异，在这里交叉就得模拟原遗传算法，在两解附近采样时，产生一定的随机性。具体实现是：求两个父代的均值，随机增减一个0到10之间的整数，再取绝对值满足约束。

去掉二进制编码、变异的代码如下：

def get_plan_based_on_GA_without_by(cks):plan=np.hstack((np.random.randint(0,1024,(1000,1)),np.random.randint(0,128,(1000,1))))average_crossover=lambda x:np.abs(np.floor(0.5*(x[0]+x[1]))+np.random.randint(-10,10,(2))) #用随机扰动代替变异的作用costlist=[]for _ in range(20):kill=np.dot(plan,np.array([[20],[150]])) < cks #选出承载力小于乘客人数的方案plan=np.delete(plan, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体cost=np.dot(plan,np.array([[20*0.2],[150*0.1]])) #运输成本select=np.max(cost)/cost #选择概率，成本越小，select概率越大deleteindex=np.argsort(select.reshape(-1))[:int(select.shape[0]*0.9)] #贪心选择，对选择概率排序然后删除后0.7，保留前0.3plan=np.delete(plan, deleteindex, axis=0) #进行选择，得到选择后的新种群jc=np.array([average_crossover(plan[np.random.randint(0,plan.shape[0],(2))]).tolist() for o in range(700)])plan=np.vstack((plan,jc)) #将父代与子代拼起来，得到新种群costlist.append(np.min(cost)) #记录最小开销plt.plot(range(len(costlist)),costlist,label='不编码不变异')return plan[np.argmin(cost)], np.min(cost)

这个算法是可以收敛的。

3.4.3 交叉

既然又成功了，干脆把交叉的形式也去掉，直接按照最开始的思路：在较好的解附近采样，得到很多新解进行采样，具体如下：

• 初始化种群的策略与3.4.1、3.4.2一样，随机采样plan矩阵作为初始种群。
• 这次我们不取两个父本，只取一个父本，直接对其每个位置增减一个0到10之间的随机数，然后取绝对值保证约束。这就是最直接的“在较好解附近采样”。

去掉遗传算法所有包装：二进制编码、变异、交叉。纯粹的实现在较好解附近随机采样的策略，代码如下：

def get_plan_based_on_GA_without_jc(cks):plan=np.hstack((np.random.randint(0,1024,(1000,1)),np.random.randint(0,128,(1000,1))))random_neighbor_sampling=lambda x:np.abs(x+np.random.randint(-10,10,(2)))costlist=[]for _ in range(20):kill=np.dot(plan,np.array([[20],[150]])) < cks #选出承载力小于乘客人数的方案plan=np.delete(plan, np.where(kill), axis=0) #清理种群，清除所有不满足载客量要求的个体cost=np.dot(plan,np.array([[20*0.2],[150*0.1]])) #运输成本select=np.max(cost)/cost #选择概率，成本越小，select概率越大deleteindex=np.argsort(select.reshape(-1))[:int(select.shape[0]*0.9)] #贪心选择，对选择概率排序然后删除后0.7，保留前0.3plan=np.delete(plan, deleteindex, axis=0) #进行选择，得到选择后的新种群new_plan=np.array([random_neighbor_sampling(plan[np.random.randint(0,plan.shape[0])]).tolist() for o in range(700)])plan=np.vstack((plan,new_plan)) #将父代与子代拼起来，得到新种群costlist.append(np.min(cost)) #记录最小开销plt.plot(range(len(costlist)),costlist,label='在较优解附近随机采样')return plan[np.argmin(cost)], np.min(cost)

这个算法是可以收敛的。

3.4.4 那么，还需要编码、交叉、变异吗

肯定需要，还是保持原汁原味的遗传算法最好。从3.2中我们就能看出，编码之后再交叉，采样的效果是非常好的，非常接近3.1中分析的问题的特性，更加合理。同时二进制编码下的变异随机性也更强，从感觉上来说比3.4.1中的变异策略更好。

之所以这几个消融实验可以成功，还是因为问题简单。当问题变得更加复杂，遗传算法会更加通用且可信。例如：在tsp问题、列车调度问题中，通过合理的编码能够很好的解决非结构化解的表示问题，并且让编码后的解有更好的“近朱者赤”的特性。在出现一些奇葩的解空间时，可能需要变异来进行全局采样，而不是仅靠附近采样就能收敛。总之，遗传算法相比消融实验的算法更加成熟、通用、可信度高。

进行消融实验，只是为了说明遗传算法的本质：采样逼近。

最后附上3.4中所有代码的运行结果。

start=time.time()
print(get_plan_based_on_GA(5644), time.time()-start) #原始算法
start=time.time()
print(get_plan_based_on_GA_without_encoding(5644), time.time()-start) #去掉二进制编码/整数编码
start=time.time()
print(get_plan_based_on_GA_without_by(5644), time.time()-start) #去掉变异
start=time.time()
print(get_plan_based_on_GA_without_jc(5644), time.time()-start) #去掉交叉/较优解附近随机采样
#画图
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('最小成本')
plt.legend()

运行结果：四个算法均能收敛。

算法	方案[小飞机数量, 大飞机数量]	最小成本	用时(s)
原遗传算法	[0, 38]	570	0.257312536239624
不编码	[0, 38]	570	0.1894979476928711
不编码不变异	[0, 38]	570	0.3101644515991211
随机采样	[0, 38]	570	0.19550657272338867

水平所限，一些认识可能偏差或者错误，一些表达可能啰嗦而难懂，或者不清晰。希望各位大佬不吝赐教。

完结撒花
完稿于2021.11.20 1:49