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1 k阶子式和秩的定义

给定一个矩阵，任取k行和k列交叉元素，组成的行列式，就成为k阶子式，比如$A_{3X4}$取2阶子式，可以取前两行和后两列，结果如下:(由于只有3行，所以最多有3阶子式)
$$A=\left[\begin{array}{c}2,2,2,2\\ 3,3,3,2\\ 1,1,1,1\end{array}\right]k_2=\left|\begin{array}{c}2,2\\ 3,2\end{array}\right|$$然后查看一下示例的这个矩阵可以取得的各阶子式的值

• 1阶子式的值：方阵中各个元素的值
• 2阶子式的值：0,0,-2（选择前两行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,0（取一三行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,1（取二三行，第一列和其余列的行列式值）
• 3阶子式的值：0,0,0,0（只有三行，任意取三列，共有四种取法，最后结果都是0）

那么规定非零子式的最高阶数称作：矩阵的秩。比如刚刚的示例矩阵，其3阶子式全为0，所以最高的非零子式只有2阶，故矩阵的秩为2。

规定和性质：

• 零矩阵的秩为0，也就是r(0) = 0
• 若矩阵$A_{mXn}$，则矩阵的秩取值范围为： 0 < = r ( A ) < = m i n { m , n } 0<=r(A)<=min\{m,n\} 0<=r(A)<=min{m,n}，若$r(A)=m$取所有的行，被称为行满秩矩阵；若$r(A)=n$即是取到了所有的列，被称作为列满秩矩阵；这两种情况都是称作满秩，说明 r ( A ) = m i n { m , n } r(A) =min\{m,n\} r(A)=min{m,n}
• 若 r ( A ) < m i n { m , n } r(A) < min\{m,n\} r(A)<min{m,n}，说明矩阵是降秩矩阵
• 若A为方阵，$A满秩⟺A可逆⟺|A|\ne 0$

2 矩阵的秩的定理

定理1： $r(A)=r⟺有一个r阶子式不为0，所有的r+1阶均为0$（可以通过行列式的展开定理实现证明）

阶梯型矩阵：
1）若有零行，零行在非零行的下面；
2）左起首非零元左边零的个数随行数增加而严格增加
$$A=\left[\begin{array}{c}1,1,1,1,1\\ 0,1,1,1,1\\ 0,0,0,1,1\\ 0,0,0,3,4\\ 0,0,0,0,0\end{array}\right]这里的A就不属于阶梯型矩阵，不满足第二点$$
行简化阶梯型：
1）非零行的首非零元是1
2）首非零元所在列的其余元素都是0

$$A=\left[\begin{array}{c}1,0,0,0,1\\ 0,1,0,0,1\\ 0,0,0,1,1\\ 0,0,0,0,0\\ 0,0,0,0,0\end{array}\right]$$

由此可以得出一个结论：矩阵的秩还可以用非零行的行数表示，非零行有几行，那么秩就为几

定理2：初等变换不改变矩阵的秩。一般使用初等行变换化为阶梯型

$$A=\left[\begin{array}{c}1,-1,2,1,0\\ 2,-2,4,-2,0\\ 3,0,6,-1,1\\ 0,3,0,0,1\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}1,-1,2,1,0\\ 0,0,0,-4,0\\ 0,3,0,-4,1\\ 0,3,0,0,1\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}1,-1,2,1,0\\ 0,3,0,-4,1\\ 0,0,0,-4,0\\ 0,0,0,0,0\end{array}\right]\Rightarrow r(A)=3$$

3 有关秩的性质

• $r(A)=r(A^T)$
• 矩阵乘以可逆矩阵，秩不变
• $A_{mXn}$，$P$是m阶可逆方阵，$Q$是n阶可逆方阵 $\Rightarrow r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$，这里使用大白话说就是：矩阵左乘可逆矩阵、右乘可逆矩阵、左右乘可逆矩阵，矩阵的秩不变

哈哈哈，宋老师很皮~