参考博客：https://blog.csdn.net/weixin_41894030/article/details/115699611

首先来思考，为什么叫“秩”？

举个例子就很容易理解，大家排队买票。如果大家互相不认识，那就会一个排一个，非常有秩序。然而，如果突然来了一个与队伍前面的人认识的人，这个人又不自觉排队，非要插队。那后面的人肯定要有意见了，说你要是这样我前面 还有认识的人呢，你插我也插队，这样整个队伍就乱掉了， 谁也买不成。

通过这个例子，可以得到一下结论：彼此不认识，那就不相关，就有秩序，问题就好解决；反之，彼此相关，就没有秩序，问题就不好解决。

所以，数学中定义，矩阵中最大的不相关的向量的个数，叫做秩，可以理解为有秩序的程度。

从社会学角度考虑一下，政府机关是讲人际关系的地方，可谓是关系错综复杂，通常都是近亲繁殖。显然，这些部门用矩阵来说，就不满秩，秩非常小。可以想象这些地方的工作肯定是搞不好的，因为没有秩序。所以想找个好单位，满秩可以作为一项评价指标哦~~~

一、低秩矩阵中低秩（Low-rank）的意义

1，问题的引出——对低秩矩阵分解中低秩的误解

        论文《Privileged Matrix Factorization for Collaborative Filtering》是我在推荐系统研究方向上所读的第一篇论文（针对该篇论文，请看总结点击打开链接），当时对矩阵分解的理解是：评分矩阵X分解成两个隐特征矩阵U和V，U代表用户隐特征矩阵，V代表商品隐特征矩阵。U和V的隐因子向量的长度为k，其中k<<min{m,n}，自己也就理解成了分解后的两个矩阵的秩是比原来的评分矩阵X的秩低很多，所以就把该方法称为低秩矩阵分解法。

        在我查阅了大量资料后，事实证明我对低秩矩阵分解中的低秩的意义理解是错误的。那么低秩（Low-rank）的意义到底代表什么呢，请看下面的解释

2，低秩矩阵分解中低秩的意义

        我们先来回忆下线性代数里面“秩”到底是啥？举个简单的例子吧：

对上面的线性方程组，第一个方程和第二个方程有不同的解，而第2个方程和第3个方程的解完全相同。从这个意义上说，第3个方程是“多余”的，因为它没有带来任何信息量，把它去掉，所得的方程组与原来的方程组同解。为了从方程组中去掉多余的方程，自然就导出了“矩阵的秩”这一概念。

还记得我们怎么手工求矩阵的秩吗？为了求矩阵A的秩，我们是通过矩阵初等变换把A化为阶梯型矩阵，若该阶梯矩阵有r个非零行，那么A的秩rank(A)就等于r。从物理意义上来讲，矩阵的秩度量的就是矩阵的行列之间的相关性。如果矩阵的各行或列是线性无关的，矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数。回到上面线性方程组来说，因为线方程组可以用矩阵描述。秩就表示了有多少个有用的方程。上面的方程组有3个方程，实际上只有2个有用的，一个是多余的，所以对应的矩阵的秩是2.

ok,既然秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上就表示了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强，那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以总结的一点就是：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-商品推荐表等，那么这个矩阵各行之间存在一定的相关性，那这个矩阵一般是低秩的。

如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(x)是x的秩，假如rank (X)远小于m和n，则称x是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表示，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。

总结一下：矩阵的秩的度量其实就是矩阵的行列之间的相关性。如果矩阵的各行或列是线性无关的，矩阵就是满秩的。非零元素的行数或列数决定了秩的多少。

低秩矩阵    原文链接：https://blog.csdn.net/gcheney/article/details/100633881

低秩是指矩阵的秩比较小，而矩阵的低秩性是指矩阵的秩相对矩阵的行数或列数而言很小。

图像处理中，rank可以理解为图像所包含的信息的丰富程度，在现实生活中，一张图片大部分是相似的。比如一张大草原的图片可以理解为，草原是由很多草组成的，而草是相似的，所以如果全是草，那么这张图所包含的信息量是很少的的，因为可以理解为草是草的复制品。而图中的蒙古包，人，马之类的则可以理解为图片所包含的信息，实际上，相对于只有草的草原图片和有草和蒙古包的草原图片，后者的秩是较高的。也就是说，图片中比较突兀的成分，比如蒙古包，比如人像照片中的红眼亮点，会增加图像矩阵的秩。而现实生活中一张不错的图片的秩其实是比较低的，如果图像的秩比较高，往往是因为图像中的噪声比较严重。比如拍照的时候ISO感光度设置过高造成噪点太过泛滥之类的。所以，图像处理的低秩性其实可以拿来去除照片中的噪点，电影中的雨丝也可以通过低秩表达的方式来去除。

低秩与稀疏。低秩是指矩阵的秩较小，稀疏是指矩阵中非零元素的个数少。如果对矩阵进行奇异值分解，并把其所有奇异值排列为一个向量，那么这个向量的稀疏性便对应于该矩阵的低秩性

3.低秩（Low-rank）的意义

由矩阵秩的定义知道，若将图像看成一个矩阵，那么它的基的数量越少，基对应的线性无关向量数量就越少，矩阵的秩就越小。当它远远小于矩阵的大小的时候，图像就是低秩的。低秩矩阵的每行或者每列都可以用其他的行或者列线性表示，这说明这个矩阵包含了大量的冗余信息。利用这种冗余信息可以对确实图像信息进行恢复，可以将多出来的噪声信息进行去除，还可以对错误的图像信息进行恢复。

我们可以利用图像的低秩性来恢复图像，首先构建融合了低秩矩阵先验的模型，再求解这个模型得到低秩的矩阵。这种基于低秩矩阵逼近（LOW-Rank Matrix Approximation,LRMA）的模型称为低秩矩阵恢复模型（LRMR）。目前，LRMR主要有鲁棒主成分分析robust PCA,（RPCA）、矩阵补全（matrix completion,MC）和低秩表示（low-rank representation，LRP）等三类模式。

原文链接：https://blog.csdn.net/gcheney/article/details/100633881

二、矩阵填补（Matrix Completion）

矩阵填补的应用很广泛，论文《Matrix completion by deep matrix factorization》就给出了矩阵填补的两个应用：图像修复（image inpainting）、协同过滤（Collaborative filtering）。

        图像修复：简单来说就是通过矩阵填补模型将“打码”的图片修复成原来的图片，如下图所示：

 协同过滤：是推荐系统的一种模型，该方法通过分析用户的历史记录（主要是用户-商品评分矩阵）来给用户做出推荐。例如我们在看一部电影的时候，如果喜欢看，就会给它打个分，例如3颗星。然后系统，例如Netflix等知名网站就会分析这些数据，看看到底每部影片的题材到底是怎样的？针对每个人，喜欢怎样的电影，然后会给对应的用户推荐相似题材的电影。但有一个问题是：我们的网站上面有非常多的用户，也有非常多的影片，不是所有的用户都看过说有的电影，不是所有看过某电影的用户都会给它评分。假设我们用一个“用户-影片”的矩阵来描述这些记录，例如下图，可以看到，会有很多空白的地方。如果这些空白的地方存在，我们是很难对这个矩阵进行分析的，所以在分析之前，一般需要先对其进行补全。也叫矩阵填充。

 那到底怎么填呢？如何才能无中生有呢？每个为0的地方的信息是否蕴含在其他已有的信息之上了呢？如果有，怎么提取出来呢？Yeah，这就是低秩生效的地方了。这叫低秩矩阵重构问题，它可以用如下的模型表述：已知数据是一个给定的m*n矩阵A，如果其中一些元素因为某种原因丢失了，我们能否根据其他行和列的元素，将这些元素恢复？当然，如果没有其他的参考条件，想要确定这些数据很困难。但如果我们已知A的秩rank(A)<<m且rank(A)<<n，那么我们可以通过矩阵各行(列)之间的线性相关将丢失的元素求出。你会问，这种假定我们要恢复的矩阵是低秩的，合理吗？实际上是十分合理的，比如一个用户对某电影评分是其他用户对这部电影评分的线性组合。所以，通过低秩重构就可以预测用户对其未评价过的视频的喜好程度。从而对矩阵进行填充。