矩阵的秩是什么？

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前言

相信大家刚开始学线性代数时，都会接触到一个重要的概念，矩阵的秩。矩阵的秩的定义很好理解，可是这矩阵秩的背后有啥奥秘呢？通过自己的学习和大家分享下我理解的秩的概念。

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一、矩阵秩的定义？

矩阵秩的数学定义：在 $m\times n$矩阵 $A$ 中，任取 k 行与 k 列（$k\le m；k\le n$），位于这些行列交 叉处的 $k^2$个元素，不改变它们在 $A$中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$的$k$ 阶子式。

设在矩阵 $A$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有$r+1$阶子式 （如果存在的话）全等于 0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数$r$称为矩阵 $A$ 的秩，记作$R(A)$。

二、矩阵乘法的几何意义

我们先做个准备，理解下矩阵乘法的几何意义

一句话概括就是，$C=AB$，把$A$看成一个“函数$f(x)$”，将$B$的每一列向量看成$x$，最终将空间某一个位置的$x$移动到空间的另外一个位置（长度可能发生变化）。

三、几何上理解矩阵的秩

1.矩阵$A$是方阵时

1. 举个例子假如$A$ =

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵，因为两行不成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。但这不是我们想要的直观上的理解。什么是几何上的理解呢？

设$x$是任意的一个取值为实数的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，我们知道$Ax$是一个两行一列的向量，当我们让$x_1,x_2$取遍一切实数，$Ax$就能铺满整个二维平面（想象一下上面的矩阵相乘的几何意义）。因为
$$Ax=x_1\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$，我们可以把$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$看成是一个二维平面的基，确实也可以，因为它们线性无关。

重要：1.矩阵A的秩等于2，不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗，矩阵A的列向量生成的空间是二维平面，二维平面是2维的空间。2.这里矩阵A的秩等于2也可以理解为，无穷多个向量通过矩阵的作用，都落在二维平面上。

2. 再举一个例子，假如$B$ =

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$$

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为1的矩阵，因为两行成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢？

设$x$是任意的一个取值为实数的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，我们知道$Ax$是一个两行一列的向量，当我们让$x_1,x_2$取遍一切实数，$Ax$就不能铺满整个二维平面。因为
$$Ax=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$是两个共线的向量，由它们生成的空间只能是一条直线，这条直线为$y=x$它不是整个二维平面，我们可以称呼向量$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$是垃圾向量，因为它对生成整个二维平面没有一点贡献。

重要：矩阵A的秩等于 1，不刚好等于矩阵列向量线性组合生成的一维空间的维数吗，由于矩阵A第二列是垃圾向量，最终只能生成一维的直线。

3.高维矩阵$n\ast n$也是这样理解的。

2.矩阵$A$是方阵时（3*3）

举个例子假如$A$ =

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$$

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵，因为有两行成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢？

设$x$是任意的一个取值为实数的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$，我们知道$Ax$是一个三行一列的向量，当我们让$x_1,x_2,x_3$取遍一切实数，$Ax$就不能生成整个三维空间，只能生成三维空间的一个平面。因为
$$Ax=x_1\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ 与$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$共线，$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$对生成三维空间没有做出任何贡献。

重要： 1.矩阵A的秩等于 2 ，不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗，矩阵A的列向量生成的空间是二维平面，二维平面是 2 维的空间。2.当用无穷多个 3 维列向量与矩阵作用时，最终向量全部坍缩在一个二维平面内。我们可以形象称呼这个矩阵不怎么“健壮”，明明是 3*3 的矩阵，最终只能生成2维平面。

3.矩阵$A$非方阵时（3*2）

举个例子假如$A$ =

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢？

设$x$是任意的一个取值为实数的向量$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$，我们知道$Ax$是一个三行一列的向量，当我们让$x_1,x_2$取遍一切实数，$Ax$生成三维空间的一个平面。因为
$$Ax=x_1\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

重要：矩阵A的秩等于 2，不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗，矩阵A的列向量生成的空间是二维平面，二维平面是 2 维的空间。

总结

1.所以，矩阵的秩就是，当用相应的无穷多个向量去与矩阵作用时，最终它们铺满空间的维数。
2.在三维几何空间中，如果铺满的是一个二维平面，就说矩阵秩为 2 ，如果填充满三维空间，就说矩阵秩为 3 。

参考

1.线性代数的几何意义----任广千，谢聪等
2.线性代数的本质 — 3Blue1Brown