1.CRF简化表示

先回顾一下线性链CRF参数化形式

和都可以表示为随机变量的函数，因此，可以将和统一成

其中，是转移特征的个数，是状态特征的个数。特征函数所代表的特征集合一共有K个值，。
用来表示特征的权重，是和的集合，k=1,2,3,…,K。
所以，CRF的形式可简化为

对转移特征和状态特征在各位置i求和

将权重集合组合成向量w，将特征函数包含的所有特征表示为全局向量 ， 可表示为w和F(y,x)的内积w∙F(y,x)

其中

这里，刚开始有点懵的是，前一篇举例计算条件概率时，Y序列有5个节点，2个取值，转移特征一共有16个，状态特征有9个，条件概率的分子一共有9项相加（转移特征5-1项，状态特征5项），而这里，w∙F(y,x)一共有K项，相当于例子中的16+9项，这就对不上了呀！
后来终于注意到

而

不满足条件的项就是0，而对于，那种和当前状态不满足的，可能权重会变得接近于0.这样一来，两个计算方式就不冲突了。

2. CRF矩阵表示

CRF计算公式也可表示为

令

则

令


表示序列第i-1,i位置的所有可能可能标注的概率矩阵，如果Y有m个取值，那么是m阶方阵。
CRF可表示为

这里序列取n+1个，实际上是给序列添加了start和stop标志后，序列结点个数实际上上n+2，从0到n+1。

Z(x)表示从start到stop整个序列的所有路径的概率和，p(y│x)表示从start到stop某条路径的概率（看到这里才理解p(y│x)所表示的含义）。Z(x)为规范化因子。

依然用上一篇的例子，

图1
的取值为y={S,O}，那么添加start和stop之后，start到stop的全部路径为下图中所有路径

图2
而表示红色路径的概率。

3.概率的计算方式

从

由于序列的递推关系,从前往后推，到位置i，i位置为关于位置i-1为的条件概率为

同时，从图1可以看出，Y的各节点之间是无向的，也就是不仅依赖，同时也依赖，要确定，那么和也需要确定（个人理解）。
因此，引入前向后-后向算法，前向算法计算对的依赖，后面算法计算对的依赖。

以标注序列为例，p(y|x)是整个序列的概率，而实际标注过程中，每个位置上Y的可能取值的概率才是决定每个位置该标注为哪一个值的关键。我们的计算目标更多在于。
而根据前面的依赖关系，要计算位置i为的概率，需要先计算位置i-1和i+1各可能标注值的概率，所以，还需要计算（将此公式中i替换为i+1就是）

在前向算法中，定义
对每个指标i=0,1,2,…,n+1定义前向向量：

递推公式

又可表示为

表示在位置i的标记为并且i前面的位置确定的非规范概率， 表示位置i上Y的所有可能取值的概率，可看做是一个矩阵，如果Y的取值个数为m，那么它是m维向量。

同样，定义后向向量为：


又可表示为

根据土递推关系，start和stop之间所有路径的概率和，实际上就是从start往stop推，第n位置的所有取值的概率和，因为序列最后一个包含全部可能取值，那么前面位置的所有可能全部包含在内，同理，也等同于从stop往后推，推到start，位置1的所有可能取值的概率和等同于start和stop之间的所有路径概率和。因此

计算位置i-1和i的条件概率为

4.期望计算

在学习参数时，需要用到转移特征的期望和状态特征的期望，前面已经把转移和状态两特征函数统一成特征函数，所以，除了计算概率，还得计算特征函数的期望。
特征函数f_k关于条件分布P(Y|X)的数学期望是

假设经验分布为 ，特征函数关于联合分布P(Y,X)的数学期望是

其中

最重要的计算公式是第i和i-1位置的条件概率计算和特征函数的两个期望计算，前者在学习和预测时都要用到，后者主要用在学习参数。在学习参数，计算梯度时，需用实际的和来替换。

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参考资料
《统计学习方法》
《统计自然语言处理》