杵臼关节、 阿基米德、 多面体

　　$1.$中国数学家华罗庚说过这样一段话:
　　　　　　「宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地
　　　　　　　球之变、生物之谜、日用之繁、无处不用数学。」
(《华罗庚科普著作选集》,上海教育出版社，$1984$;原刊于$1959$年$5$月$28$日《人民日报》)。让我就以一个数学应用例子来开始。$1981$年春某天,一位香港大学医学院的同事向我们提出他在医学实验当中碰到的一个数学问题。这个问题和它的解决方法,且听我慢慢道来。

　　动物的骨骼关节有好几类,其中一类叫做杵臼关节$(ball-and-socket)$。杵凸出的部分和臼凹入的部分并非完全吻合, 唯其如此, 杵臼关节才能较好承受应力。但杵臼之间不时磨擦却促使两者的形状渐趋吻合,幸好关节的正常生长又抵消了这种吻合现象,这个此消彼长的过程在医学上叫做重模过程$(remodelling process)$。那位医学院同事的研究项目,就是探讨外力对关节重模过程的影响。了解这个情况,对于医疗步骤而言是有用的。
　　实验是要计算受不同程度外力的杵臼接触部分的面积。在实验过程中,把关节剖开,把臼部分拍照,利用一种染色技巧,把杵臼的接触部分区别,在照片上显现。如果要计算照片上著色区域的面积,那还好办,打方格便成了(见图$1$)。数一数著色区域占多少方格,就能估计面积。方格分得越细,估计值越准确。
　　
　　

　　那位同事碰到的困难是什么呢?照片只是平面投影,他真正要计算的部分却是个曲面(见图$2$)。为了作近似计算,不妨假设骨臼是个半圆球，它的横截面照片是半圆球面的投影，是一个圆。圆内某些区域着了色，那是半圆球面上着了色的区域的投影。数学问题是：怎样从圆内着色的区域推算半圆球面上相应区域的面积呢？

　　数学提供了解决这种问题的理论工具:高等微积分的曲面积分$(surface integral)$,这属于大学一年级的数学课程范围。但是,随意给出圆内某个区域,它可能难以用数学公式刻画,怎么计算它上面的曲面积分呢? 那位医学院同事也不一定熟悉高等微积分, 他要求的是一种既简单又可以自己动手量度的方法, 于是向我们提出这个问题。大家来想一下计算平面区域面积的方法, 为什么打方格这办法行得通呢? 关键在于每一个方格的面积是相等的。 估计图形所占方格的数目,乘以每格面积,就得到答案了。怎样在曲面上做类似的事情呢?请注意,我们看到的不是曲面而是它的平面投影的照片, 只能把照片上的区域分成小部分, 于是自然地提出以下的问题:怎样把照片划成小部分,每部分相应的曲面的面积都是相等的?如果能这样做,就能估计曲面上区域的面积了。既然平面上的方格那么有用,把它们投影到曲面上,问题就解决了吗?可惜答案是:不!平面上的方格是等面积的,把它们投影到球面上却不再是等面积的。位于中心附近的一格相应的曲面面积，比起位于圆周附近一格相应的曲面面积是小了 (见图$3$)。

　　不难看到,如果我们画一组等分圆周的半径,由这些线段组成的扇形在曲面上的相应面积是相等的。如果我们能够再适当地画一组同心圆,把这些扇形分为小部分，使曲面上的相应面积相等,问题不是解决了吗(见图$4$)?

　　我带着问题回到家,它一直在脑子里盘旋。晚饭后我跟一岁半的儿子玩耍,他正在把弄一件玩具,是一个由一组颜色不同厚度相等的球台合拼而成的圆球(见图$5$)。瞠着那件玩具,我忽地灵机一动,想到了关键的问题!那套球台的厚度两两相等,它们的侧面积是否也两两相等呢?如果的确相等,把球台投影到通过球中心的平面, 就得到所需的同心圆了。待儿子睡着后我连忙拿纸笔算一算,果然不出所料,两个球台只要厚度相等,它们的侧面积也相等。我再翻查数学手册,证实我的计算无误。手册上写着,从半径是$R$的圆球截取一个厚度是$H$的球台,它的侧面积是$2πRH$(见图$6$)。特别地,具相同$H$的球台有相等的侧面积。

　　利用球台侧面积的性质,我们懂得如何把圆划分,使每小部分相应的曲面面积相等,如图所示(见图$7$)。数一数着色区域占多少部分便能估计半圆球上着色区域的面积。由于那组同心圆在平面上不是均匀的,把划分加细时必须作出适当处理,其中的技术细节,就从略了。

　　2.虽然杵臼关节的问题告一段落, 我意犹未尽, 因为球台侧面积的公式很有意思, 十分漂亮却不明显。 如此优美的公式, 前人是怎样发现的呢?

　　为求进一步了解这个问题, 我翻阅书本, 尤其是古代希腊的数学文献, 因为在那个时代, 几何发展尤其蓬勃。果然, 我在阿基米德 (Archimedes, 公元前287年至公元前212 年)的著述《圆球与圆柱》(On the sphere and cylinder) 里面找到了解释。阿基米德考虑的是整个圆球的表面积$A$,以今天的表达方式,答案是$A = 4πR^2$ ($R$是圆球的半径), 这是书中第三十三条定理的内容。他也考虑球冠的表面积, 答案就是由顶点至边缘的线段作为半径的圆的面积,$A = πL^2 = 2πRh$(由于$L^2 = 2Rh$,$h$是球冠的高), 这是书中第四十二条定理的内容。一个球台可以看成是从一个大球冠减去一个小球冠, 假设大球冠的高是$h_1$,小球冠的高是$h_2$,那么球台的侧面积是$A = 2πRh_1 − 2πRh_2 = 2πR(h1 − h2) = 2πRH$, 其中$H$是球台的厚度。

　　 阿基米德运用「穷竭法」(method of exhaustion)来证明这些定理, 内里蕴含后世微积分的极限(limits)思想,在这儿不岔开话题了,不如让我用现代数学语言来解释球台侧面积的公式吧。一个球台可以看成是由众多层截头圆锥体近似地组成, 每层越薄,组成的物体便越趋近于球台。先来看一层典型的截头圆锥体,顶是一个半径为$r_i$的圆, 底是一个半径为$r′_i$的圆,斜长是$ℓ_i$,高是$h_i$,从圆球中心至圆锥侧面的垂直线长度是 pi