1.定义

$$if\underset{x\to \lambda }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)△x_i\exists ，则f(x)在[a,b]上可积$$
定积分与上下限、函数关系有关，与积分变量无关。

2.定理与性质

2.1积分上限函数

由于凭借定义计算定积分太过困难，所以人们研究出来积分上限函数
$$设f(x)\in C[a,b],令\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt,则{\Phi }^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$$
ps:C[a,b]表示在a，b区间连续
该定理的证明需要使用到积分中值定理
该定理告诉我们：
$$f(x)\in C[a,b]，则他的积分上限函数(变上限积分)是f(x)的一个原函数$$
所以说，连续函数一定有原函数，至少他的积分上限函数就是他的一个原函数
同时由此可证明著名的牛顿—莱布利兹公式

2.2积分中值定理

$$设f(x)\in C[a,b],则存在\xi \in [a,b],使得$$
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

2.3其它性质与定理

$$①上下限对调，积分取反。当a<b时，{\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$
$$②积分对区间的可加性。f(x)可积，则{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$
f(x)在[-a,a]上连续，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx$

3.做题技巧、题型