在应用差分隐私进行隐私保护中，需要处理的数据主要分为两大类：

• 数值查询：一般采用 $Laplace$ （严格DP）或者高斯机制（松弛DP）对得到数值结果加入随机噪声即可实现差分隐私。

• 非数值查询：一般采用指数机制并引入一个打分函数，对每一种可能的输出都得到一个分数，归一化之后作为查询返回的概率值。

一 拉普拉斯机制

Laplace分布和机制

$\mu =0$ : 中间位置，负数向左，正数向右
$b＞0$ : $b$值越接近0，尺度越大（高）

方法：利用拉普拉斯将查询得到的单一结果概率化。
原理：原始查询结果+拉普拉斯噪声, 使得到的结果跟正常查询得到的结果相差不大。

其中，$f(D)$表示的是查询函数， $Y$表示的是Laplace随机噪声， $M(D)$表示的是最后的返回结果。

敏感度

对于两个相邻数据集（只相差一个元素/汉明距离=1）$D,D^{\prime }$ ，一个查询函数 $f(\cdot )$ 最大的变化范围，比如查询数量，敏感度就是1。

加入噪声和敏感度的大小成正比

噪声

$Y$是独立同分布的变量
其中，$\Delta f$ 表示敏感度， $ϵ$ 表示隐私预算。可以看到，隐私预算越小，噪声越大，结果可用性越小，隐私保护越好。隐私预算和可用性成正比。

证明

二 高斯机制

Laplace机制提供的是严格的 $(ϵ,0)$-$DP$ ，而高斯机制则提供的是松弛的 $(ϵ,\delta )$-$DP$机制。

高斯分布和机制

高斯分布：

高斯机制：

其中：$M(D)=f(D)+Y$

参数设置：

• 高斯分布的标准差 $\sigma$ 决定了噪声的尺度；
• $ϵ$ 表示隐私预算，和噪声成负相关；
• $\delta$ 表示松弛项，比如设置为 $10^{-5}$ ，就表示只能容忍 $10^{-5}$ 的概率违反严格差分隐私。

敏感度

刚才Laplace定义的是 $l1$ ，这里的高斯定义的是 $l2$

证明

三 指数机制

机制和理论

理论：

敏感度

证明

四 总结

   隐私预算和可用性成正比，和隐私保护成反比，大量的隐私预算必然造成隐私保护能力下降。
    差分隐私的机制本质上是通过加噪声实现的，但是通过对同一数据集多次频繁的查询，利用平均也可以大致推断出一些隐私信息,本质上就是对同一数据集进行多次查询花费了大量的隐私预算.
    在实际的算法应用中，比如决策树或者神经网络，我们必须要频繁的访问数据，因此为了解决这个问题，在设计差分隐私的时候，我们需要利用组合定理对隐私预算进行合理地控制，当预算被用完之后，数据就不能再被访问。