Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则

line search（一维搜索，或线搜索）是最优化（Optimization）算法中的一个基础步骤/算法。它可以分为精确的一维搜索以及不精确的一维搜索两大类。

本文主要介绍一下，不精确的一维搜索的两大准则：Armijo-Goldstein准则 ＆ Wolfe-Powell准则。

1 为什么要遵循这些准则

由于采用了不精确的一维搜索，所以，为了能让算法收敛（即：求得极小值），人们逐渐发现、证明了一些规律，当你遵循这些规律的时候，算法就很有可能收敛。因此，为了达到让算法收敛的目的，我们就要遵循这些准则。

2 Armijo-Goldstein准则

此准则是在196X年的时候由Armijo和Goldstein提出的。

Armijo-Goldstein准则的核心思想有两个：①目标函数值应该有足够的下降；②一维搜索的步长$\alpha$不应该太小。

这两个思想的意图非常明显。由于最优化问题的目的就是寻找极小值，因此，让目标函数函数值“下降”是我们努力的方向，所以①正是想要保证这一点。同理，②也类似：如果一维搜索的步长$\alpha$太小了，那么我们的搜索类似于在原地打转，可能也是在浪费时间和精力。

有了这两个指导思想，我们来看看Armijo-Goldstein准则的数学表达式：
$$f(x_k+a_k{d}_k)\le f(x_k)+a_k\rho g_k^T{d}_k\cdots (1)$$$$f(x_k+a_k{d}_k)\ge f(x_k)+a_k(1-\rho )g_k^T{d}_k\cdots (2)$$
其中，$0<\rho <1/2$。袁亚湘写的《最优化理论与方法》一书证明，如果没有这个条件的话，将影响算法的超线性收敛性。

Armijo-Goldstein准则可能会把极小值点（可接受的区间）判断在区间bc内。显而易见，区间bc是有可能把极小值排除在外的（极小值在区间ed内）。所以，为了解决这个问题，Wolfe-Powell准则应运而生。

3 Wolfe-Powell准则

Wolfe-Powell准则也有两个数学表达式，其中，第一个表达式与Armijo-Goldstein准则的（1）式相同，第二个表达式为：
$$▽f(x_k+a_k{d}_k{)}^T{d}_k\ge \sigma g_k^T{d}_k，\sigma \in (\rho ,1)\cdots (3)$$
这个式子已经不是关于函数值的了，而是关于梯度的。此式的几何解释为：可接受点处的切线斜率$\ge$初始斜率的 $\sigma$ 倍。

上面的图已经标出了$\sigma g_k^T{d}_k$那条线（即 $e$点处的切线），而初始点($\alpha =0$的点）处的切线是比 e点处的切线要“斜”的，由于$\sigma \in (\rho ,1)$，使得 $e$点处的切线变得“不那么斜”了。这样做的结果就是，我们将极小值包含在了可接受的区间内（$e$点右边的区间）。

Wolfe-Powell准则到这里还没有结束！在某些书中，你会看到用另一个所谓的**“更强的条件”**来代替(3)式，即：
$$|▽f(x_k+a_k{d}_k{)}^T{d}_k|\le -\sigma g_k^T{d}_k，\sigma \in (\rho ,1)\cdots (4)$$
这个式子和(3)式相比，就是左边加了一个绝对值符号，右边换了一下正负号（因为$g_k^T{d}_k<0$， $-\sigma g_k^T{d}_k>0$），这样做的结果就是：可接受的区间被限制在了 $[b,d]$内，即红线部分，如图：

参考： codelast.com