1. 什么是RSA
RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法,也是号称地球上最安全的加密算法。
RSA是被研究得最广泛的公钥算法,从提出到现在已近三十年,经历了各种攻击的考验,逐渐为人们接受,普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
2. RSA算法原理
RSA公开密钥密码体制的原理是:根据数论,寻求两个大素数比较简单,而将它们的乘积进行因式分解却极其困难,因此可以将乘积公开作为加密密钥。
根据密钥的使用方法,可以将密码分为对称密码和公钥密码
对称密码:加密和解密使用同一种密钥的方式
公钥密码:加密和解密使用不同的密码的方式,因此公钥密码通常也称为非对称密码。
3. RSA加密解密
3.1 RSA加密
RSA的加密过程可以使用一个通式来表达
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-WXu4YmnM-1616138531581)(https://www.sunindark.com/upload/2021/03/image-131283941ec24ef6b5cc21dc8973a061.png)]
也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。
从通式可知,只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了,所以说E、N是RSA加密的密钥,也就是说E和N的组合就是公钥,我们用(E,N)来表示公钥
不过E和N不并不是随便什么数都可以的,它们都是经过严格的数学计算得出的,关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密(Encryption)的首字母,N是数字(Number)的首字母
3.2 RSA解密
RSA的解密同样可以使用一个通式来表达
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-REGio3iF-1616138531584)(https://www.sunindark.com/upload/2021/03/image-aeda6e61c29446c7a02f4da72618dde4.png)]
也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文,这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了,所以D和N的组合就是私钥
从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的,加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N”
此处D是解密(Decryption)的首字母;N是数字(Number)的首字母。
小结下:
此处D是解密(Decryption)的首字母;N是数字(Number)的首字母。
4. 生成密钥对
既然公钥是(E,N),私钥是(D,N)所以密钥对即为(E,D,N)但密钥对是怎样生成的?步骤如下:
- 求N
- 求L(L为中间过程的中间数)
- 求E
- 求D
4.1 求N
准备两个质数p,q。这两个数不能太小,太小则会容易破解,将p乘以q就是N
N = p * q
4.2 求L
L 是 p-1 和 q-1的最小公倍数,可用如下表达式表示
L=lcm(p-1,q-1)
4.3 求E
E必须满足两个条件:E是一个比1大比L小的数,E和L的最大公约数为1
用gcd(X,Y)来表示X,Y的最大公约数则E条件如下:
1 < E < L
gcd(E,L)=1
之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。
4.4 求D
数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系:
1 < D < L
E*D mod L = 1
只要D满足上述2个条件,则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。
简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。
现在私钥自然也已经生成了,密钥对也就自然生成了。
小结下:
5. 实践下吧
我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成,及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。
5.1 求N
我们准备两个很小对质数,
p = 17
q = 19
N = p * q = 323
5.2 求L
L = lcm(p-1, q-1)= lcm(16,18) = 144
144为16和18对最小公倍数
5.3 求E
求E必须要满足2个条件:1 < E < L ,gcd(E,L)=1
即1 < E < 144,gcd(E,144) = 1
E和144互为质数,5显然满足上述2个条件
故E = 5
此时公钥=(E,N)= (5,323)
5.4 求D
求D也必须满足2个条件:1 < D < L,E*D mod L = 1
即1 < D < 144,5 * D mod 144 = 1
显然当D= 29 时满足上述两个条件
1 < 29 < 144
5*29 mod 144 = 145 mod 144 = 1
此时私钥=(D,N)=(29,323)
5.5 加密
准备的明文必须时小于N的数,因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N
假设明文 = 123
则 密文=明文^E mod N=123^5%323=225
5.6 解密
则 明文=密文^D mod N=225^29%323=123
解密后的明文为123。
6. 工具类
RSA公私钥获取:
在线生成RSA公私钥
支付宝开发助手
package com.jieyi.fortest;import java.security.KeyFactory;
import java.security.NoSuchAlgorithmException;
import java.security.PrivateKey;
import java.security.PublicKey;
import java.security.interfaces.RSAPrivateKey;
import java.security.interfaces.RSAPublicKey;
import java.security.spec.InvalidKeySpecException;
import java.security.spec.PKCS8EncodedKeySpec;
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import java.util.Base64;import javax.crypto.Cipher;public class RSATest {public static void main(String[] args) throws Exception {String publickey = "MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQCDq/OaSuGGchsTxqa2OMlncyI78Izvv6oN5KzfjKTR4+iWxLYGob+2mpoO4kStetZhY+QBwz8lRufPjML0ZMcmiscDS/gQUIT2RX2TixoqxRpGicl01W3HHpJTmvEeRzicUyT07P0VxZ9M6ESHymKFwdAr+PSJmG4z5WJit8hCWwIDAQAB";String privatekey = "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";String ss = encryptData("你好", privatekey);System.out.println("私钥加密结果:" + ss);String sss = decryptData(ss, publickey);System.out.println("公钥解密结果:" + sss);String dd = encrypt("你好", publickey);System.out.println("公钥加密结果:" + dd);String ddd = decrypt(dd, privatekey);System.out.println("私钥解密结果:" + ddd);// String modulus = "ADFC626F262CD3622D038B5A41117E4AEEA66A73EAA7CB88B6A723739B643D3E3C19BA8150ABD398B41C69E9CE0DC6890B9A2B6709E6D2870D8B7FCAEBC8D3B3";// RSAPublicKey publicKey = RSAUtil.loadPublicKey(modulus, "10001", 16);// String publicKeyStr = new String(Base64.getEncoder().encode(publicKey.getEncoded()));// System.out.println("公钥模值转Base64字符串结果:" + publicKeyStr);}/*** @Title: encryptData* @Description:私钥加密* @param data* @param privateInfoStr* @return* @throws Exception*/public static String encryptData(String data, String privateInfoStr) throws Exception {Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA/ECB/PKCS1Padding");cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, getPrivateKey(privateInfoStr));return Base64.getEncoder().encodeToString(cipher.doFinal(data.getBytes("UTF-8")));}/*** @Title: getPrivateKey* @Description:字符串私钥转PrivateKey* @param base64PrivateKey* @return* @throws NoSuchAlgorithmException* @throws InvalidKeySpecException*/private static PrivateKey getPrivateKey(String base64PrivateKey) throws NoSuchAlgorithmException, InvalidKeySpecException {PrivateKey privateKey = null;PKCS8EncodedKeySpec keySpec = new PKCS8EncodedKeySpec(Base64.getDecoder().decode(base64PrivateKey.getBytes()));KeyFactory keyFactory = null;keyFactory = KeyFactory.getInstance("RSA");privateKey = keyFactory.generatePrivate(keySpec);return privateKey;}/*** @Title: getPublicKey* @Description:字符串公钥转PublicKey* @param base64PublicKey* @return* @throws Exception*/private static PublicKey getPublicKey(String base64PublicKey) throws Exception {X509EncodedKeySpec keySpec = new X509EncodedKeySpec(Base64.getDecoder().decode(base64PublicKey.getBytes()));KeyFactory keyFactory = KeyFactory.getInstance("RSA");return keyFactory.generatePublic(keySpec);}/*** * @Title: decryptData* @Description:公钥解密* @param data* @param publicInfoStr* @return* @throws Exception*/public static String decryptData(String data, String publicInfoStr) throws Exception {byte[] encryptDataBytes = Base64.getDecoder().decode(data.getBytes("UTF-8"));//解密Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA/ECB/PKCS1Padding");cipher.init(Cipher.DECRYPT_MODE, getPublicKey(publicInfoStr));return new String(cipher.doFinal(encryptDataBytes), "UTF-8");}/*** * @Title: encrypt* @Description:公钥加密** @param str* @param publicKey* @return* @throws Exception*/public static String encrypt(String str, String publicKey) throws Exception {//base64编码的公钥byte[] decoded = Base64.getDecoder().decode(publicKey);RSAPublicKey pubKey = (RSAPublicKey) KeyFactory.getInstance("RSA").generatePublic(new X509EncodedKeySpec(decoded));//RSA加密Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA");cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, pubKey);String outStr = Base64.getEncoder().encodeToString(cipher.doFinal(str.getBytes("UTF-8")));return outStr;}/*** * @Title: decrypt* @Description:私钥解密** @param str* @param privateKey* @return* @throws Exception*/public static String decrypt(String str, String privateKey) throws Exception {//64位解码加密后的字符串byte[] inputByte = Base64.getDecoder().decode(str.getBytes("UTF-8"));//base64编码的私钥byte[] decoded = Base64.getDecoder().decode(privateKey);RSAPrivateKey priKey = (RSAPrivateKey) KeyFactory.getInstance("RSA").generatePrivate(new PKCS8EncodedKeySpec(decoded));//RSA解密Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA");cipher.init(Cipher.DECRYPT_MODE, priKey);String outStr = new String(cipher.doFinal(inputByte));return outStr;}}