文章目录
- 一、全响应
- 1.符号
- 2.特性
- 二、零输入响应y~zi~(t)
- 1.步骤
- 2.例题：
- 三、零状态响应y~zs~(t)
- 1.系数匹配法
- 2.步骤
- 3.例题
一、全响应
1.符号
- 零输入响应(zero input)： y x ( t ) y z i ( t ) y_x(t)\quad y_{zi}(t) yx(t)yzi(t)
- 零状态响应(zero status)： y f ( t ) y z s ( t ) y_f(t)\quad y_{zs}(t) yf(t)yzs(t)
- 全响应： y ( t ) = y z i ( t ) + y z s ( t ) y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t) y(t)=yzi(t)+yzs(t)，类似向量的x轴分解和y轴分解
2.特性
-
零输入响应 y z i ( t ) y_{zi}(t) yzi(t)
只由状态引起的响应，干脆叫“状态响应”
激励为0，右边=0
y z i ( j ) ( 0 + ) = y z i ( j ) ( 0 − ) ⎵ ( 状 态 不 变 ) = y ( j ) ( 0 − ) \underbrace{y_{zi}^{(j)}(0_+)=y_{zi}^{(j)}(0_-)}_{(状态不变)}=y^{(j)}(0_-) (状态不变) yzi(j)(0+)=yzi(j)(0−)=y(j)(0−)
解释： y ( 0 − ) ( j ) = y z i ( j ) ( 0 − ) + y z s ( j ) ( 0 − ) ， y z s ( j ) ( 0 − ) = 0 y^{(j)}_{(0_-)}=y_{zi}^{(j)}(0_-)+y_{zs}^{(j)}(0_-)，y_{zs}^{(j)}(0_-)=0 y(0−)(j)=yzi(j)(0−)+yzs(j)(0−)，yzs(j)(0−)=0 -
零状态响应 y z s ( t ) y_{zs}(t) yzs(t)
只由输入引起的响应，干脆叫“输入响应”
激励f(t)= ϵ ( t ) \epsilon(t) ϵ(t)
y z s ( j ) ( 0 − ) = 0 y_{zs}^{(j)}(0_-)=0 yzs(j)(0−)=0
解释：激励发生在0时刻，所以 0 − 0_- 0−无激励。
二、零输入响应yzi(t)
1.步骤
2.例题：
三、零状态响应yzs(t)
1.系数匹配法
条件： 对于含 δ \delta δ的三阶激励方程，如 y ′ ′ ( t ) + 3 y ′ ( t ) + 2 ( t ) = 2 δ ( t ) + 6 ϵ ( t ) y''(t)+3y'(t)+2(t)=2\delta(t)+6\epsilon(t) y′′(t)+3y′(t)+2(t)=2δ(t)+6ϵ(t)
特性：
- 只有最高阶 y ( n − 1 ) 含 有 δ ( t ) y^{(n-1)}含有\delta(t) y(n−1)含有δ(t)，其他阶组成 ϵ ( t ) \epsilon(t) ϵ(t)
- y ( n − 2 ) ( 0 + ) = ̸ y ( n − 2 ) ( 0 − ) y^{(n-2)}(0_+)= \not y^{(n-2)}(0_-) y(n−2)(0+)≠y(n−2)(0−)，即 y ′ ( 0 + ) = ̸ y ′ ( 0 − ) y'(0_+)= \not y'(0_-) y′(0+)≠y′(0−)
- 最低阶： y ( n − 3 ) ( 0 + ) = y ( n − 3 ) ( 0 − ) y^{(n-3)}(0_+)= y^{(n-3)}(0_-) y(n−3)(0+)=y(n−3)(0−)，即 y ( 0 + ) = y ( 0 − ) y(0_+)=y(0_-) y(0+)=y(0−)
推论：
-
y ( 0 − ) = y z i ( 0 − ) + y z s ( 0 − ) y(0_-)=y_{zi}(0_-)+y_{zs}(0_-) y(0−)=yzi(0−)+yzs(0−)， y ( 0 + ) = y z i ( 0 + ) + y z s ( 0 + ) y(0_+)=y_{zi}(0_+)+y_{zs}(0_+) y(0+)=yzi(0+)+yzs(0+)
而 y ( 0 + ) = y ( 0 − ) y(0_+)=y(0_-) y(0+)=y(0−), y z i ( 0 + ) = y z i ( 0 − ) y_{zi}(0_+)=y_{zi}(0_-) yzi(0+)=yzi(0−)，且 y z s ( 0 − ) = 0 y_{zs}(0_-)=0 yzs(0−)=0
从而 y z s ( 0 + ) = y z s ( 0 − ) = 0 y_{zs}(0_+)=y_{zs}(0_-)=0 yzs(0+)=yzs(0−)=0 -
只有最高阶 y ( n − 1 ) 含 有 δ ( t ) y^{(n-1)}含有\delta(t) y(n−1)含有δ(t)，其他阶组成 ϵ ( t ) \epsilon(t) ϵ(t)
那么对方程两边求积分 ∫ 0 − 0 + \displaystyle \int ^{0+}_{0-} ∫0−0+
对 ϵ ( t ) \epsilon(t) ϵ(t)求则为0，那么 3 y ′ ( t ) + 2 ( t ) 3y'(t)+2(t) 3y′(t)+2(t)求也对应为0，所以我们不用展开求 ∫ 0 − 0 + 3 y ′ ( t ) + 2 ( t ) \displaystyle \int ^{0+}_{0-}3y'(t)+2(t) ∫0−0+3y′(t)+2(t)
对 δ ( t ) \delta(t) δ(t)求为1，那么需要展开， ∫ 0 − 0 + y ′ ′ ( t ) = y ′ ( 0 + ) − y ′ ( 0 − ) = y z s ′ ( 0 + ) − y z s ′ ( 0 − ) \displaystyle \int ^{0+}_{0-}y''(t) = y'(0_+)-y'(0_-)=y_{zs}'(0_+) - y_{zs}'(0_-) ∫0−0+y′′(t)=y′(0+)−y′(0−)=yzs′(0+)−yzs′(0−)，因为 y z i ( j ) ( 0 + ) = y z i ( j ) ( 0 − ) y_{zi}^{(j)}(0_+)=y_{zi}^{(j)}(0_-) yzi(j)(0+)=yzi(j)(0−)
综上，也就是 y z s ′ ( 0 + ) − y z s ′ ( 0 − ) = δ ( t ) 的 系 数 y_{zs}'(0_+) - y_{zs}'(0_-)=\delta(t)的系数 yzs′(0+)−yzs′(0−)=δ(t)的系数
所以系数匹配法结论：
- y z s ( 0 + ) = y z s ( 0 − ) = 0 y_{zs}(0_+)=y_{zs}(0_-)=0 yzs(0+)=yzs(0−)=0
- y z s ′ ( 0 + ) − y z s ′ ( 0 − ) = δ ( t ) 的 系 数 y_{zs}'(0_+) - y_{zs}'(0_-)=\delta(t)的系数 yzs′(0+)−yzs′(0−)=δ(t)的系数
PS： y ′ ( 0 + ) − y ′ ( 0 − ) = y z s ′ ( 0 + ) − y z s ′ ( 0 − ) = δ ( t ) 的 系 数 y'(0_+)-y'(0_-)=y_{zs}'(0_+) - y_{zs}'(0_-)=\delta(t)的系数 y′(0+)−y′(0−)=yzs′(0+)−yzs′(0−)=δ(t)的系数
2.步骤
3.例题
