机器学习基石2-Learning to Answer Yes-No

注：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程。
笔记原作者：红色石头
微信公众号：AI有道

上节课，简述了机器学习的定义及其重要性，并用流程图的形式介绍了机器学习的整个过程：根据模型\(\mathcal{H}\)，使用演算法\(\mathcal{A}\)，在训练样本\(\mathcal{D}\)上进行训练，得到最好的\(h\)，其对应的\(g\)就是我们最后需要的机器学习的模型函数，一般\(g\)接近于目标函数\(f\)。本节课将继续深入探讨机器学习问题，介绍感知机Perceptron模型，并推导课程的第一个机器学习算法：Perceptron Learning Algorithm（PLA）。

一、Perceptron Hypothesis Set

引入这样一个例子：某银行要根据用户的年龄、性别、年收入等情况来判断是否给该用户发信用卡。现在有训练样本\(\mathcal{D}\)，即之前用户的信息和是否发了信用卡。这是一个典型的机器学习问题，我们要根据\(\mathcal{D}\)，通过\(\mathcal{A}\)，在\(\mathcal{H}\)中选择最好的\(h\)，得到\(g\)，接近目标函数\(f\)，也就是根据先验知识建立是否给用户发信用卡的模型。银行用这个模型对以后用户进行判断：发信用卡（+1），不发信用卡（-1）。

在这个机器学习的整个流程中，有一个部分非常重要：就是模型选择，即Hypothesis Set。选择什么样的模型，很大程度上会影响机器学习的效果和表现。下面介绍一个简单常用的Hypothesis Set：感知机（Perceptron）。

还是刚才银行是否给用户发信用卡的例子，我们把用户的个人信息作为特征向量\(x\)，令总共有\(d\)个特征，每个特征赋予不同的权重\(w\)，表示该特征对输出（是否发信用卡）的影响有多大。拿所有特征的加权和的值与一个设定的阈值threshold进行比较：大于这个阈值，输出为\(+1\)，即发信用卡；小于这个阈值，输出为\(-1\)，即不发信用卡。感知机模型，就是当特征加权和与阈值的差大于或等于\(0\)，则输出\(h(x)=1\)；当特征加权和与阈值的差小于\(0\)，则输出\(h(x)=1\)，而我们的目的就是计算出所有权值\(w\)和阈值threshold。

为了计算方便，通常我们将阈值threshold当做\(w_0\)，引入一个\(x_0=1\)的量与\(w_0\)相乘，这样就把threshold也转变成了权值，简化了计算。\(h(x)\)的表达式做如下变换:

为了更清晰地说明感知机模型，我们假设Perceptrons在二维平面上，即\(h(x)=sign(w_0+w_1x_1+w_2x_2)\)。其中，\(w_0+w_1x_1+w_2x_2=0\) 是平面上一条分类直线，直线一侧是正类\(（+1）\)，直线另一侧是负类\(（-1）\)。权重\(w\)不同，对
应于平面上不同的直线。

那么，我们所说的Perceptron，在这个模型上就是一条直线，称之为linear(binary) classifiers。注意一下，感知器线性分类不限定在二维空间中，在3D中，线性分类用平面表示，在更高维度中，线性分类用超平面表示，即只要是形如的线性模型就都属于linear(binary) classifiers。同时，需要注意的是，这里所说的linear(binary) classifiers是用简单的感知器模型建立的，线性分类问题还可以使用logistic regression来解决，后面将会介绍。

二、Perceptron Learning Algorithm (PLA)

根据上一部分的介绍，我们已经知道了hypothesis set由许多条直线构成。接下来，我们的目的就是如何设计一个演算法\(\mathcal{A}\)，来选择一个最好的直线，能将平面上所有的正类和负类完全分开，也就是找到最好的\(g\)，使\(g\approx f\)。

如何找到这样一条最好的直线呢？我们可以使用逐点修正的思想，首先在平面上随意取一条直线，看看哪些点分类错误。然后开始对第一个错误点就行修正，即变换直线的位置，使这个错误点变成分类正确的点。接着，再对第二个、第三个等所有的错误分类点就行直线纠正，直到所有的点都完全分类正确了，就得到了最好的直线。这种“逐步修正”，就是PLA思想所在。

下面介绍一下PLA是怎么做的。首先随机选择一条直线进行分类。然后找到第一个分类错误的点，如果这个点表示正类，被误分为负类，即\(w^T_tx_{n(t)}<0\)，那表示\(w\)和\(x\)夹角大于90度，其中\(w\)是直线的法向量。所以，\(x\)被误分在直线的下侧（相对于法向量,法向量的方向即为正类所在的一侧），修正的方法就是使\(w\)和\(x\)夹角小于90度。通常做法是\(w\leftarrow w+yx\)，\(y=1\), 如图右上角所示，一次或多次更新后的\(w+yx\)与\(x\)夹角小于90度，能保证\(x\)位于直线的上侧，则对误分为负类的错误点完成了直线修正。

同理，如果是误分为正类的点，即\(w^T_tx_{n(t)}>0\)，那表示\(w\)和\(x\)夹角小于90度，其中\(w\)是直线的法向量。所以，\(x\)被误分在直线的上侧，修正的方法就是使\(w\)和\(x\)夹角大于90度。通常做法是\(w\leftarrow w+yx\)，\(y=-1\)，如图右下角所示，一次或多次更新后的\(w\)与\(x\)夹角大于90度，能保证\(x\)位于直线的下侧，则对误分为正类的错误点也完成了直线修正。

按照这种思想，遇到个错误点就进行修正，不断迭代。要注意一点：每次修正直线，可能使之前分类正确的点变成错误点，这是可能发生的。但是没关系，不断迭代，不断修正，最终会将所有点完全正确分类（PLA前提是线性可分的）。这种做法的思想是“知错能改”，有句话形容它：“A fault confessed is half redressed.”

实际操作中，可以一个点一个点地遍历，发现分类错误的点就进行修正，直到所有点全部分类正确。这种被称为Cyclic PLA。

下面用图解的形式来介绍PLA的修正过程：

对PLA，我们需要考虑以下两个问题：

PLA迭代一定会停下来吗？如果线性不可分怎么办？
PLA停下来的时候，是否能保证\(f\approx g\)？如果没有停下来，是否有\(f\approx g\)？

三、Guarantee of PLA

PLA什么时候会停下来呢？根据PLA的定义，当找到一条直线，能将所有平面上的点都分类正确，那么PLA就停止了。要达到这个终止条件，就必须保证D是线性可分（linear separable）。如果是非线性可分的，那么，PLA就不会停止。

对于线性可分的情况，如果有这样一条直线，能够将正类和负类完全分开，令这时候的目标权重为\(w_f\)，则对每个点，必然满足\(y_n=sign(w^T_fx_n)\)，即对任一点：\[y_{n(t)}w^T_fx_{n(t)}\geq min_{n}y_nw^T_fx_n>0\] PLA会对每次错误的点进行修正，更新权重\(w_{t+1}\)的值，如果\(w_{t+1}\)与\(w_f\)越来越接近，数学运算上就是内积越大，那表示\(w_{t+1}\)是在接近目标权重\(w_f\)，证明PLA是有学习效果的。所以，我们来计算\(w_{t+1}\)与\(w_f\)的内积：

从推导可以看出， \(w_{t+1}\)与\(w_f\)的内积跟\(w_t\)与\(w_f\)的内积相比更大了。似乎说明了\(w_{t+1}\)更接近\(w_f\)，但是内积更大，可能是向量长度更大了，不一定是向量间角度更小。所以，下一步，我们还需要证明\(w_{t+1}\)与\(w_t\)向量长度的关系：

\(w_t\)只会在分类错误的情况下更新，最终得到的\(\|w_{t+1}\|^2\)相比\(\|w_{t}\|^2\)的增量值不超过\(max\|x_n\|^2\)。也就是说， \(w_t\)的增长被限制了， \(w_{t+1}\)与\(w_t\)向量长度不会差别太大！

如果令初始权值\(w_0=0\)，那么经过T次错误修正后，有如下结论：
\[\frac{w^T_f}{\|w_f\|} \frac{w_T}{\|w_T\|} \geq \sqrt{T}\frac{ \min_n y_n\frac{w^T_f}{\|w_f\|}x_n}{\sqrt{\max_n\|x_n\|^2}}\] 推导过程如下：

\(w_0=0\) ===> \(w^T_f w_{T} \geq T \min_n y_nw^T_fx_n\)
\(\frac{w^T_f w_T}{\|w_f\|} \geq T \min_n y_n\frac{w^T_f}{\|w_f\|}x_n\)
\(w_0=0\) ===>\(\|w_T\|^2 \leq T \max_n\|x_n\|^2\)===> \(\frac{1}{\|w_T\|} \geq \frac{1}{\sqrt{T} \sqrt{\max_n\|x_n\|^2}}\)
\(\frac{w^T_f}{\|w_f\|} \frac{w_T}{\|w_T\|} \geq \sqrt{T}\frac{ \min_n y_n\frac{w^T_f}{\|w_f\|}x_n}{\sqrt{\max_n\|x_n\|^2}}\)

四、Non-Separable Data

上一部分，我们证明了线性可分的情况下，PLA是可以停下来并正确分类的，但对于非线性可分的情况， \(w_f\)实际上并不存在，那么之前的推导并不成立，PLA不一定会停下来。所以，PLA虽然实现简单，但也有缺点：

对于非线性可分的情况，我们可以把它当成是数据集\(D\)中掺杂了一下noise，事实上，大多数情况下我们遇到的\(D\)，都或多或少地掺杂了noise。这时，机器学习流程是这样的：

在非线性情况下，我们可以把条件放松，即不苛求每个点都分类正确，而是容忍有错误点，取错误点的个数最少时的权重\(w\)：

事实证明，上面的解是NP-hard问题，难以求解。然而，我们可以对在线性可分类型中表现很好的PLA做个修改，把它应用到非线性可分类型中，获得近似最好的\(g\)。

修改后的PLA称为Packet Algorithm。它的算法流程与PLA基本类似，首先初始化权重\(w_0\)，计算出在这条初始化的直线中，分类错误点的个数。然后对错误点进行修正，更新\(w\)，得到一条新的直线，在计算其对应的分类错误的点的个数，并与之前错误点个数比较，取个数较小的直线作为我们当前选择的分类直线。之后，再经过n次迭代，不断比较当前分类错误点个数与之前最少的错误点个数比较，选择最小的值保存。直到迭代次数完成后，选取个数最少的直线对应的\(w\)，即为我们最终想要得到的权重值。

如何判断数据集\(D\)是不是线性可分？对于二维数据来说，通常还是通过肉眼观察来判断的。一般情况下，Pocket Algorithm要比PLA速度慢一些。