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条件随机场（Conditional Random Field，CRF）是一种判别式无向图模型，在《概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）》中提到过，生成式模型是直接对联合分布进行建模，而判别式模型则是对条件分布进行建模，《概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）》和《概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：马尔可夫随机场（Markov Random Field，MRF）》介绍的隐马尔可夫模型和马尔可夫随机场都是生成式模型，而条件随机场则是判别式模型。

条件随机场试图对多个变量在给定观测值后的条件概率进行建模。具体来说，若令 x = { x 1 , x 2 , ⋯ , x n } x=\{x_1, x_2, \cdots, x_n\} x={x1​,x2​,⋯,xn​}为观测序列， y = { y 1 , y 2 , ⋯ , y n } y=\{y_1, y_2, \cdots, y_n\} y={y1​,y2​,⋯,yn​}为与之相应的标记序列，则条件随机场的目标是构建条件概率模型$P(y|x)$。需注意的是，标记变量$y$可以是结构型变量，即其分量之间具有某种相关性。例如在自然语言处理的词性标注任务中，观测数据为语句（即单词序列），标记为相应的词性序列，具有线性序列结构，如下左图所示；在语法分析任务中，输出标记则是语法树，具有树形结构，如下右图所示。

令$G=(V,E)$表示结点与标记变量$y$中元素一一对应的无向图，$y_v$表示与结点$v$对应的标记变量，$n(v)$表示结点的邻接结点，若图$G$的每个变量$y_v$功都满足马尔可夫性，即：
P ( y v ∣ x , y v \ { v } ) = P ( y v ∣ x , y n ( v ) ) P(y_v|x,y_{v\backslash\{v\}})=P(y_v|x, y_{n(v)}) P(yv​∣x,yv\{v}​)=P(yv​∣x,yn(v)​)

则$(y,x)$构成一个条件随机场。

理论上来说，图$G$可具有任意结构，只要能表示标记变量之间的条件独立性关系即可。但在现实应用中，尤其是对标记序列建模时，最常用的仍是下图所示的链式结构，即“链式条件随机场”（Chain-structured CRF）。下面我们主要讨论这种条件随机场。

与马尔可夫随机场定义联合概率的方式类似，条件随机场使用势函数和图结构上的团来定义条件概率$P(y|x)$。给定观测序列$x$，上图所示的链式条件随机场主要包含两种关于标记变量的团，即单个标记变量 { y i } \{y_i\} {yi​}以及相邻的标记变量 { y i − 1 , y i } \{y_{i-1}, y_i\} {yi−1​,yi​}。选择合适的势函数，即可得到条件概率定义，在条件随机场中，通过选用指数势函数并引入特征函数（Feature Function），条件概率被定义为：
$$P(y|x)=\frac{1}{Z}\exp (\sum _j\sum _{i=1}^{n-1}{\lambda }_j{t}_j(y_{i+1},y_i,x,i)+\sum _k\sum _{i=1}^n{\mu }_k{s}_k(y_i,x,i))$$

其中$t_j(y_{i+1},y_i,x,i)$是定义在观测序列的两个相邻标记位置上的转移特征函数（Transition Feature Function），用于刻画相邻标记变量之间的相关关系以及观测序列对它们的影响，$s_k(y_i,x,i)$是定义在观测序列的标记位置上的状态特征函数（Status Feature Function），用于刻画观测序列对标记变量的影响，${\lambda }_j$和${\mu }_k$为参数，$Z$为规范化因子，用于确保上式是正确定义的概率。

显然，要使用条件随机场，还需定义合适的特征函数。特征函数通常是实值函数，以刻画数据的一些很可能成立或期望成立的经验特性，以词性标注任务为例，若采用转移特征函数：
$$t_j(y_{i+1},y_i,x,i)=\{\begin{array}{rl}1& ,\text{if}{y}_{i+1}=[P],y_i=[V],x_i=\text{"learning"}\\ 0& ,\text{otherwise}\end{array}$$

则表示第$i$个观测值$x$为单词“learning”时，相应的标记$y_i$和$y_{i+1}$很可能分别为$V$和$P$。若采用状态特征函数：
$$s_k(y_i,x,i)=\{\begin{array}{rl}1& ,\text{if}{y}_i=[V],x_i=\text{"learning"}\\ 0& ,\text{otherwise}\end{array}$$

则表示观测值$x_i$为单词learning时，它所对应的标记很可能为$V$。

对比上面两个特征函数可以看出，条件随机场和马尔可夫随机场均使用团上的势函数定义概率，两者在形式上没有显著区别；但条件随机场处理的是条件概率，而马尔可夫随机场处理的是联合概率。

参考文献：
[1] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.