1 引言

霍夫曼码是一种无损编码，而且是最优的符号码。但是，它有两个缺点：（1）每个符号至少需要一个比特；（2）当符号的概率分布变化时，使用不方便。

用一个例子来看看霍夫曼编码的第一个缺点（即每个符号至少需要1个比特）。

信源从符号集 A = { a 1 , a 2 , a 3 } A = \{a_1, a_2,a_3 \} A={a1​,a2​,a3​}中选择独立同分布的符号，概率分布为𝑃(𝑎_1 )=0.95,𝑃(𝑎_2 )=0.02,𝑃(𝑎_3 )=0.03。它的熵为0.335比特/符号。才3个符号，所以这个霍夫曼码很简单，如下所示。

它的平均码长为1.05比特/符号，远大于熵（0.335比特/符号）。原因是符号$a_1$的信息量为
$-\log 0.95=0.074$比特，远小于其码长（1比特）。给$a_1$分配长度为1的码是很浪费的。

为了减小平均码长，下面将两个符号（独立同分布的）合并为一个扩展符号，进行霍夫曼编码。扩展符号的概率分布如下图。

其霍夫曼码的构造过程如下图所示。

2个扩展符号的平均码长为1.222比特/扩展符号。相当于单个符号的平均码长为0.611比特，这比前面针对单个符号编码的平均码长短了许多，但是仍然很长，约为熵的2倍。

我们可以进一步扩展，当扩展为8个符号时，单个符号的平均码长与熵接近。但符号集大小为$3^8=6561$。对于许多应用，如此规模的霍夫曼码是不现实的。

该例子表明，为符号序列（符号组）生成码字，比为单个符号生成码字，码率更优。但是，为了给长为$m$的某符号序列指定霍夫曼码，需要为所有长为$m$的符号序列构造编码树。即需要构建整个码本，其大小随$m$指数增长！

而算术编码能做到：能为特定的符号序列（当前要压缩的数据）指定码字，同时又不需要为所有的符号序列（当前数据中不出现的）指定码字。当$m$很大时，该属性很重要。

2 算术编码

对于信源输出的符号序列，算术编码是对整个符号序列进行编码。为了实现无损编码，不同的符号序列需要映射为不同的标签（tag）。我们可以用[0,1)区间的实数（二进制形式）作为标签。由于[0,1)区间有无穷多个实数，足够给每个序列分配一个唯一的标签。那么，如何将符号序列映射为[0,1)区间的实数？利用累积分布函数（CDF）。

一个随机试验（如抛硬币、扔色子）所有可能结果组成一个基本空间Ω。 随机变量𝑋是定义在基本空间Ω上的、取值为实数的函数。 即随机试验每个可能结果都有实轴上的点与之对应。 为了统一起见和方便起见，随机变量采用下面的映射：$X(a_i)=i,a_i\in A$。其中， A = { a 1 , a 2 , … , a n } A=\{a_1,a_2,…,a_n \} A={a1​,a2​,…,an​}为离散信源的符号集。

例如，随机抛硬币，可能的结果有正面朝上、反面朝上两种 。当正面朝上时，$X$取值1；当反面朝上时，$X$取值2。 又如，随机扔色子，所有可能结果是1点、2点、3点、4点、5点和6点，$X$分别取值1，2，3，4，5，6。 又如，随机从英文文本（已经过处理，只有小写字母和空格，无标点符号）中抽取字母，所有可能结果是abcd…z-，X分别取值1,2,…,27。

随机变量$X$的概率函数为$P(X=i)=P(a_i)$。累积密度函数$$F_X(i)=\sum _{k=1}^{i}P(X=k)$$

假设没有概率为0的符号，每个符号都对应一个唯一的$F_X(i)$。可按照$F_X(i)$对[0,1)区间切分。

如果只需对单个符号编码，那么在对应子区间随便取一个值作为标签（码字即二进制表示）。

2.1 生成标签

例如，某信源的符号集为 A = { a 1 , a 2 , a 3 } A=\{a_1,a_2,a_3 \} A={a1​,a2​,a3​}，概率为$P(a_1)=0.7$,$P(a_2)=0.1$,$P(a_3)=0.2$。

编码开始前，没有任何符号，我们只知道标签对应的是整个[0,1)区间。当收到第1个符号后，区间缩小到该符号对于的子区间。然后，按照累积分布函数对该子区间做同样的切分。当收到第2个符号后，区间缩小到子区间中的子区间。对于所有符号依次做以上区间切分，直到最后一个符号，就得到一个很小的子区间，该子区间内任何一个数字（后面讲，用哪个数字的压缩率高）都可以作为序列的标签（其二进制表示即编码结果）。

前面对确定符号序列的标签所在区间，做了直观解释。下面给出具体的计算公式。假设取区间的中点作为标签。先考虑单个符号。 符号$a_i$的标签为 $$T_X(a_i)=\sum _{k=1}^{i-1}P(X=k)+0.5P(X=i)=F_X(i-1)+0.5P(X=i)$$

下表为掷色子时单个符号的标签。

长为𝑚的符号序列$x_i$的标签为 $T_X^{(m)}(x_i)={\sum }_{y<x_i}P(y)+0.5P(x_i)$ 其中，$y$是排在$x_i$之前的等长序列。

以色子为例，𝑚=2。序列的排序方法如下：11,12,13,14,15,16,21,22,23,…,64,65,66。例如，色子序列13的标签为$T_X^{(2)}(13)=P(x=11)+P(x=12)+0.5P(x=13)=1∕36+1∕36+1∕72=5∕72。$

如果序列很长，求和项包含的序列非常多（指数增长）。上述式子不适合计算。

对于序列$x=(x_1{x}_2...x_n)$，可用递归的方法计算区间的上下限。
下限$l^{(n)}=l^{(n-1)}+(u^{(n-1)}-l^{(n-1)})F_X(x_n-1)$
上限$u^{(n)}=l^{(n-1)}+(u^{(n-1)}-l^{(n-1)})F_X(x_n)$
标签为上下限的中点。

例如， A = { a 1 , a 2 , a 3 } A=\{a_1,a_2,a_3 \} A={a1​,a2​,a3​}，概率为$P(a_1)=0.8$,$P(a_2)=0.02$,$P(a_3)=0.18$。
对于序列𝟏𝟑𝟐𝟏，计算其标签。

$F_X(0)=0,F_X(1)=0.8,F_X(2)=0.82,F_X(3)=1$
$l^{(0)}=0,u^{(0)}=1$
$l^{(1)}=0+(1-0)0=0,u^{(1)}=0+(1-0)0.8=0.8$
$l^{(2)}=0+(0.8-0)F_X(2)=0.656$, $u^{(}(2))=0+(0.8-0)F_X(3)=0.8$
$l^{(3)}=0.656+(0.8-0.656)F_X(1)=0.7712$,
$u^{(3)}=0.656+(0.8-0.656)F_X(2)=0.77408$
$l^{(4)}=0.7712+(0.77408-0.7712)F_X(0)=0.7712$,
$u^{(4)}=0.7712+(0.77408-0.7712)F_X(1)=0.773504$
标签为$(0.7712+0.773504)/2=0.772352。$

2.2 解码

还是上面的例子。对于标签0.772352，解码原序列。按顺序一次确定一个符号。那么何时解码结束？已知序列长度或者使用特殊的结束符。

2.3 为什么可以压缩？

前面为了容易理解，用十进制小数表示标签；而具体实现时，用二进制表示。许多小数需要无限长二进制表示（如0.1,0.2），不能实现压缩。在⌈log 1/(𝑃(𝑥))⌉+1处截断，数字仍在同一区间内，所以仍唯一可译。

为什么数字仍在同一区间内？因为原始数字是区间的中点，区间的大小是𝑃(𝑥)，截断误差2^(−(⌈log 1/(𝑃(𝑥))⌉+1) )≤0.5𝑃(𝑥)。假设信源为i.i.d.随机变量𝑋，𝑚个符号所构成序列的信息量log 1/(𝑃(𝑥))=𝑚𝐻(𝑋) ⌈log 1/(𝑃(𝑥))⌉+1≤𝑚𝐻(𝑋)+2。即𝑚个符号压缩为至多𝑚𝐻(𝑋)+2比特。

3 具体实现问题

3.1 比例调整

实际实现时，还有一个问题需要考虑。随着符号数增加，区间会越来越小，小数点后的数字越来越多。如何在计算机上存储极高精度的数字？用办法：比例调整编码时，按照一定规则对数字进行放大。解码时，用同样规则进行缩小即可。

3.2 自适应算术编码

算术编码可以是静态的或是自适应的。在静态算术编码中（前面介绍的），信源符号的概率是固定的。但是很多时候事先不知道精确的信源符号概率。需要自适应算术编码，根据编码时符号出现的频繁程度，动态修改符号概率。在编码期间，估算信源符号概率的过程叫建模（modeling）。

每来一个符号，符号概率进行更新，区间切分随着概率的变化而变化。编码和解码的概率更新方法保持一致，即可正确解码。

4. 对比算术编码与霍夫曼编码

假设用两种编码方法对长度𝑚的符号序列进行编码，假设使用扩展符号（𝑚个符号）进行霍夫曼编码。算术编码码率范围为：$H(X)\le l_A\le H(X)+2∕m$。霍夫曼编码码率范围为：$H(X)\le l_A\le H(X)+1∕m$。相比之下，霍夫曼编码的上限更低。但是，对于算术编码，序列长度𝑚可以取很大；而霍夫曼编码的𝑚不能很大。因此，算术编码可以实现更高的压缩比。但是，算术编码的不足是算法复杂、专利多。因此，实际中二者的应用都很多。