引言

Kalman Filter，很多人刚听到这个名词时，总是会下意识认为这就是个滤波器。我这里想要重点声明的是，Kalman Filter不是滤波，它是一种信息融合的过程。
那么Kalman Filter到底是什么？它在那些方面有着应用，它的基本原理又是什么。如果你参考国内的论坛或者教材上，你一定会发现，大部分都是一些复杂公式与枯燥抽象的说明。这里我们将通过尽量通俗易懂的讲解来给大家解释下什么叫Kalman Fiter。

先睹为快

正如我前面提到的，从定义及复杂公式去理解卡尔曼滤波，对咱们凡人来说基本是不可能的。我们将公式简化，先从下面的公式来开始讲解：

其中下标$k$是指状态，这里我们可以把它看成间隔，比如$k=1$指1ms，$k=2$指2ms。我们的目的就是要找到在状态$k$时$X$的估计。在公式中$Z_k$就是真实测量值。我们要牢记，这些测量值并不可靠。（如果这些测量值是可靠的，那么我们就没必要学kalman filter了：））。$K_k$指卡尔曼增益（这是整个公式中的核心点）。$\widehat{X_{k-1}}$就是上一状态时的估计。
在上述公式中，我们唯一未知的量就是卡尔曼增益$K_k$。像测量值及上一状态估计，我们都已经知道了。当然了，求出卡尔曼增益并不简单，但是我们有方法来解决它。
我们从另一角度来思考，让我们假设卡尔曼增益为0.5，我们会得到什么呢？它就是个简单的平均！换句话说，我们应该找到对应于每个状态的更加智能化的卡尔曼增益系数。归根结底就是：

卡尔曼滤波器为每个结果状态找到最优的平均因子。 不知怎的，还记得一些关于过去的状态。

如何，Kalman Filter神奇吧！

分步指南

下面是分布指南，可以快速开始卡尔曼滤波。

Step1 构建模型

这是最重要的步骤。首先，你必须确保卡尔曼滤波的条件符合你的问题。
我们还记得卡尔曼滤波的两个典型方程（wiki）：
$x_k=A{x}_{k-1}+B{u}_k+W_{k-1}$
$z_k=H{x}_k+v_k$

第一个公式意味着每个$x_k$可以通过一个线性随机方程来表示。任何一个$x_k$都是它前一状态的的只加上控制信号$u_k$及处理噪声$W_{k-1}$的线性组合。大多数的情况下，并不需要控制信号$u_k$。

第二个公式告诉我们，任何测量值（这里我们并不确定它是否准确）是当前状态信号值及测量噪声的线性组合，我们默认该值服从高斯分布。

这两个公式中的处理噪声及测量噪声，我们都认为是统计独立的。

方程式中的系数$A,B$及$H$是一般形式的矩阵。但是在大多数的信号处理问题中，我们使用的模型中，这些系数都仅仅是数值。而且当这些值在状态间发生变化时，大多数的情况下，我们可以假设它们就是常数。

如果我们确定我们的系统符合这个模型（大多数的系统都是符合的），那么接下来，就只剩下估计噪声函数$W_{k-1}$及$v_k$的均值和标准差。我们知道在现实生活中，没有哪个信号是纯高斯分布的，但是我们可以通过近似来进行假设。

这不是一个大问题，因为我们将看到卡尔曼滤波算法试图收敛到正确的估计，即使高斯噪声参数估计很差。

这里我们要始终牢记于心的是：“你估计噪声参数越准确，你就能获得更好的估计”

Step2 开始处理

如果你成功的将你的模型拟合到卡尔曼滤波器中，那么接下来的步骤就是决定必要的参数及你的初始值。

我们有两个不同的方程集合：时间更新（预测）及测量更新（校准）。两个方程集合都是应用在第$k$个状态

我们在步骤一中建立模型，因此我们知道矩阵A,B和H。很可能，他们都是数值常量。并且他们极可能都是数值1.

我建议你们重新写下这些公式，并看看如何去简化这些公式。
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上述公式中最痛苦的事儿就是确定R和Q了。R还相对比较容易找出，因为，通常来讲，我们对环境中的噪声还是比较确定的。但是寻找Q就并不明显了。在这个阶段，我们并不能给你一个指定的方法。

为了开始这个处理，我么需要知道$x_0$和$P_0$的估计

Step3 迭代

在我们收集了我们需要的所有信息后，我们开始处理流程，现在我们可迭代估计。我们要牢记上一状态的估计将成为当前状态的估计的输入。

这里，先验估计指测量更新校准前的粗略估计。这里我们使用在测量更新公式中的先验值

在测量更新公式中，我们找到了在状态k时x的估计。并且找到了为了状态k+1估计所需要的值。

我们计算的卡尔曼增益，在下一个迭代步骤中并不需要。 这是一组方程中隐藏的，神秘的，最重要的部分。

我们在测量更新阶段评估的值也称为后验值。这也是说得通的。

一个简单的例子

如果小伙伴们在看到这里还有点稀里糊涂的，那么接下来我们找个例子来加深下理解。

现在，让我们努力去估计一个标量随机常数，例如来自某个信号源的“电压读数”。假设它有一个恒定的a V电压，但是我们读数会不准确，可能会读高了，也有可能读低了。我们假设测量噪声的的标准差为0.1 V。

现在我们来构建我们的模型：

就像我之前说的，我们可以把方程简化成非常简单的形式。

• 首先，我们有一个一维的信号的问题，因此我们模型中的每个系数都是数值，而不是矩阵。
• 我们并没有控制信号$u_k$
• 因为信号是一个常数，那么常数A就是1，因为我们已经知道下一个值等于先前的值。我们很幸运，在这个例子中我们有一个恒定的值，但是即使它具有其他任何线性性质，我们都可以将它假设成1.
• 值H=1,因为我们知道测量值是由状态值和一些噪声组成的。你很少会遇到现实生活中，H与1不相同的情况

最后，我们假设我们得到了下面的测量值

我们应该从某处开始，比如说k=0。我们应该找到或者假设某个初始状态。这里我们给出了一些初始值。我们假设$X_0=0$并且$P_0=1$，那么为什么我们不选择$P_0=0$呢？这很简单。如果我们这样选择，那么就意味着环境中不存在噪声，而这个假设将导致在k状态下X的所有结果估计值为0（保留初始状态），所以我们一般不取$P_0=0$ 我们来写时间更新和测量更新方程 

每一轮计算的步骤：