1.向量

向量是一个既有大小又有方向的量，在物理学中又把向量叫作矢量。（与之对应的叫标量，只有大小的量）

一般用一个有向线段来表示向量，如下图：

向量几何表示时，在字母上面加上箭头，如： $\underset{AB}{\rightarrow}$

向量代数表示时，一般是小写的黑体字母，如：a、b、c等，但是手写时无法明确体现黑体，所以也常在字母上加箭头，如： $\underset{a}{\rightarrow}$

为了能将向量像数字一样进行运算，在数学上我们还必须把向量放在某一个坐标系里：如果把空间中所有的向量的尾部都拉倒坐标原点，这样n维点空间就可以与n维向量空间建立一一对应关系。n维点空间中的点(0,0,0...)取作原点，那么每一个点都可以让一个向量和它对应，这个向量就是从坐标原点出发到这个点为止的向量。

确定完坐标系，向量与点就是一一对应的，点使用坐标的有序数组来表示，那么向量也可以用坐标的有序数组表示。通过向量的有序数组来对向量进行运算。例如：二维坐标系中， $\underset{AB}{\rightarrow}$ =(4,5)，有序数组(4,5)就是向量 $\underset{AB}{\rightarrow}$

2.向量的内积定义

向量的内积也叫数量积、标积、点积。

内积的定义有两个，如下：

$a\cdot b=\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} b \end{Vmatrix}\cos\theta$ （其中 $\left \| a \right \|$ 表示向量a的长度，有的也用 $\left | a \right |$ 表示长度）

向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦。

$a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}$

向量a和b的坐标分量分别对应乘积的和。

刚接触到向量的内积定义时，纳闷为啥会有两种定义，从定义上可以看出两种定义的结果都是一个数值，那这两种定义所给定的不同计算方式最终的结果值应该是一致的，如何验证？

3.向量内积的几何解释

以三维空间为例，取任意的两个向量a和b，将两个向量的尾部重合与原点，,以向量a和b的相交组成的平面作为x0y所在的平面，并其中任意的一个向量作为x轴，下图中以向量a作为x轴，如图

那么向量a在y轴和z轴上的分量都是0，即 $a_{x}=a,a_{y}=0,a_{z}=0$

$a\cdot b=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=a_{x}b_{x}+0+0=\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} b \end{Vmatrix}cos\theta$ ，其中 $b_{x}$ 就是向量b在x轴上的分量，为 $\begin{Vmatrix} b \end{Vmatrix}cos\theta$