一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积，外积是一种特殊的克罗内克积，结果是一个矩阵，

假设和b分别是一个行向量和一个列向量，那么内积、外积分别记作和，,为了讨论方便，假设每个向量的长度为2。

注意：外积在不同的地方定义方式不太一样，这里不详细讨论

定义了内积和外积以后，我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成的，因此对矩阵不同角度的抽象，将矩阵乘法转换为向量乘法，可以使我们从不同的角度去理解矩阵的乘法。首先我们可以对于一个矩阵A（假设行和列的大小都是2），我们可以即可以把它看作由两个行向量组成的列向量，

，又可以看作是由两个列向量组成的行量,我们表示列向量，表示行向量

 

这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同的角度就可以组成四种理解方式。

一、 A是由行向量组成的列向量，B是由列向量组成的行向量

                              

此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式，按照外积定义，我们有

注意到这里面每一个都是一个向量，因此就是一个内积,计算结果就是AB矩阵第i行第j列中的元素。因此，我们可以看到，矩阵乘积是两个向量的外积，并且外积矩阵中的每一个元素是一个内积。这种方式是最直接的理解方式。

二、 A是由列向量组成的行向量，B也是由列向量组成的行向量

令C = AB， 我们考虑C的每一个列向量:

同理：

因此，矩阵C的每一个列向量，是A的列向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一列都存在于A的列向量空间内。

三、 A是由行向量组成的列向量，B也是由行向量组成的列向量

类似于上面的情况，不过我们现在考虑C的每一个行向量:

同理：

因此，矩阵C的每一个行向量，是B的行向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一个行向量都存在于B的行向量空间内。

四、 A是由列向量组成的行向量，B也是由行向量组成的列向量

此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有：

注意到是一个外积形式，因为是一个列向量，是一个行向量，因此C是由各个外积矩阵相加得到的。

 

根据以上分析，我们可以将第一种和第四种方式放到一起，第二种和第三种放到一起分别进行理解。第一种方式先将A抽象为列向量，将B抽象为行向量，从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式，而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素。

第四种理解方式先将A抽象为行向量，将B抽象为列向量，从而将矩阵乘法变为了一种内积形式，内积的各个组成部分又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素，而是将C看作是多个矩阵相加组成的，每次计算得到一个加数矩阵。

第二种方式将矩阵A、B都抽象为行向量，行向量的每个组成是一个列向量，A乘以B的每一个列向量得到一个新的列向量，并且该列向量存在于A的列向量空间内，A乘以B相当于是对A进行了列变换。第三种方式则将A乘以B看作是对B进行了行变换。

如果想对一个矩阵进行行变换，可以左乘一个矩阵；相应的如果想对矩阵进行列变换，可以右乘一个矩阵。这种思想被应用到高斯消元的过程中。

 

最后我们总结一下矩阵C(C=AB)到底是什么，C是一个矩阵，是一个多面孔的矩阵。它既是列向量组成的行向量，每个列向量是A的列空间的线性组合，又是行向量组成的列向量，每个行向量是B的行空间的线性组合；它是一个内积，内积的每个成分是一个外积，同时它又是一个外积，外积矩阵的每一个元素是一个内积。

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

                                                           

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

     a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间

     a·b=0    正交，相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间 

叉乘公式

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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…

根据翻译，内积又叫标量积、点积，还叫数量积。是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量和的点积定义为：

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：

其中，指示矩阵a的转置。注：有的同学觉得是，其实都没有错，到底是a的…

1.内积

a和b的点积公式为：（也就是投影）

a.b=|a||b|cos（a, b） 。

1）推导下面坐标表达式：

…

因为cos(π/2)=0。当然，这也是众多教科书上介绍向量内积最开始时常常用到的一种定义方式。但必须明确，这种表示方式仅仅是一种非常狭隘的定义。如果从这个定义出发来介绍向量内积，其实是本末倒置的。因为对于高维向量而言，夹角的意义是不明确的。例如，在三维坐标空间中，再引入一维时间坐标，形成一个四维空间，那么时间向量与空间向量的夹角该如何解释呢？所以读者务

概括地说，向量的内积（点乘/点积/数量积）就是对两个向量执行点乘运算，即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

                  ...</div></a></div>
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一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积，外积是一种特殊的克罗内克积，结果是一个矩阵，

假设和b分别是一个行向量和一个列向量，那么内积、外积分别记作和。

注意：外积在不同的地方定义方式不太一样，这里不详细讨论

定义了内积和外积以后，我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成