计算矩阵的迹

article/2025/10/31 9:55:01

关于矩阵的迹和它的性质，可以参考下面这篇文章。

矩阵的迹及相关性质

这里想运用矩阵迹的性质，计算下面这个矩阵Q的迹:

Q = I - X (X'X)^{-1} X'

式子中假设I是n\times n单位矩阵，X是n\times p矩阵，那么根据矩阵迹的循环置换(cyclic permutation)性质:

tr(X (X'X)^{-1} X')=tr(X'X (X'X)^{-1})=tr(I_{p\times p})=p

根据矩阵迹的加法性质tr(A+B)=tr(A)+tr(B)，有:

tr(Q)=tr(I)-tr(X (X'X)^{-1} X')=n-p

这里可以看到，矩阵迹主要是循环置换(cyclic permutation)的性质在解决一些问题。


http://chatgpt.dhexx.cn/article/b9JuCdsR.shtml

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