线性代数笔记5.3实对称矩阵的对角化（前瞻知识）

article/2025/9/22 14:01:29

实对称矩阵都能对角化

内积

简单来说，内积就是两个向量的对应分量相乘再相加

内积是个数！！
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内积的性质

注意最后一条性质

两个向量和与第三个向量的内积 == 两个向量分别与第三个向量内积的和，这条性质可以与上面的性质配合使用
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（向量）长度

向量的长度等于与它自己做内积再开根号，即点到原点的距离

若向量长度 == 1，则这个向量称为单位向量

单位化

有些向量长度并不是1，但是可以通过化简让它的长度变为1

方法：乘长度分之一

性质

  1. 向量的长度 >= 0 ||a|| == 0 等价于 a == 0
  2. 在长度运算里外提一个数，这个数需要加绝对值

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3. 两个向量的内积 <= 两个向量的长度相乘
4. 两个向量相加后的长度 <= 两个向量的长度再相加 (三角不等式)
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正交

两个向量内积 == 0 记作 α⊥β 和自身正交等于0的向量只能是0向量

零向量与任意向量都正交

正交向量组

不含0向量的向量组，向量组内的向量两两正交

标准正交向量组

向量组里的向量和自己做内积时 = 1 和别人做内积的时候 = 0
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定理

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反过来不一定成立！！

施密特正交化

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http://chatgpt.dhexx.cn/article/apsB8uUo.shtml

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