线性代数笔记5.3实对称矩阵的对角化

article/2025/9/22 14:42:51

5.3实对称矩阵的对角化

正交矩阵

概念

A是一个n阶方阵 有A转置A == E，那么这个矩阵就是正交矩阵

性质

  1. 若A是正交矩阵，|A| == 1或 -1
  2. 若A是正交矩阵，A的逆 == A的转置 且A逆和A转置均为正交
  3. A,B正交，AB也正交
  4. 若A正交，α，β列向量 (Aα.Aβ) = (α.β)
    在这里插入图片描述

定理

A正交等价于A的列(行)向量组是标准正交向量组
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例题

证|A| == 1且A是正交矩阵

看到aij == Aij这个时候就要使用伴随矩阵A*
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实对称矩阵的对角化

定理

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量一定正交

在这里插入图片描述

正交相似

在这里插入图片描述

解题步骤和方法

关键在第三步！！！！

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是否使用施密特对角化的情况如下表

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例题:
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