实对称矩阵必可正交对角化证明

article/2025/9/22 14:47:49

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n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵，即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。

首先，有以下定理：

若 $A\in R^{n*n}$ 的特征值为 $\lambda _{1},\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ ，且 $\lambda {i}\in R(i=1,2,...,n)$ ，则存在正交矩阵Q，使A相似于如下三角矩阵：

$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & * & . & . & *\\ & \lambda _{2} & . & . & .\\ & & . & . & .\\ & & & . & *\\ & & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$

证明如下（数学归纳法）：

设n*n阶矩阵A，当n = 1时，结论显然成立，假设当n - 1时结论成立，我们需要证明当n时，结论也成立。

设A的一个特征值为 $\lambda _{1}$ ，对应的特征向量为 $\alpha _{1}$ ，将 $\alpha _{1}$ 扩展为n维空间的一组标准正交基 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ ，记为： $Q_{1} = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]$ ，则：

$AQ_{1} = [A\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}] = [\lambda _{1}\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}]$

因为Q是n维空间的一组标准正交基，所以 $A\alpha _{i}$ 可表示为：

，则：

$AQ_{1} = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & a_{31} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & & \\ 0 & & & & & \\ . & & & A_{1} & & \\ . & & & & & \\ 0 & & & & & \end{bmatrix}$ ，

$Q_{1}^{-1}AQ_{1} = Q_{1}^{T}AQ_{1} = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]^{-1} [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & a_{31} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & & \\ 0 & & & & & \\ . & & & A_{1} & & \\ . & & & & & \\ 0 & & & & & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & a_{31} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & & \\ 0 & & & & & \\ . & & & A_{1} & & \\ . & & & & & \\ 0 & & & & & \end{bmatrix}$ ，

由相似矩阵有相似特征值，可知n-1阶矩阵 $A_{1}$ 有特征值 $\lambda _{2},\lambda _{3},...,\lambda _{n}$ 。由假设可知，存在n-1阶正交矩阵S使：
$S^{T}A_{1}S = \begin{bmatrix} \lambda _{2} & . & . & *\\ & .& & .\\ & & .& .\\ & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$ ，
记： $Q_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & . & . & 0\\ 0 & & & & \\ . & & S & & \\ . & & & & \\ 0 & & & & \end{bmatrix},Q = Q_{1}Q_{2}$ ，显然Q是正交矩阵（ $QQ^{T} = E$ ）。

$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = Q_{2}^{T}(Q_{1}^{T}AQ_{1})Q_{2} = Q_{2}^{T}\begin{bmatrix} \lambda _{1} & a_{21} & . & . & a_{n1}\\ 0 & & & & \\ . & & A_{1} & & \\ . & & & & \\ 0 & & & & \end{bmatrix}Q_{2} = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & * & . & . & *\\ & \lambda _{2} & & & .\\ & & . & & .\\ & & & . & *\\ & & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}$ . 得证。

记：

$B = \begin{bmatrix} \lambda _{1} & * & . & . & *\\ & \lambda _{2} & & & .\\ & & . & & .\\ & & & . & *\\ & & & & \lambda _{n} \end{bmatrix} = Q^{T}AQ$ ，