线性代数笔记15——矩阵空间和秩1矩阵

article/2025/8/23 10:33:30

矩阵空间

　　矩阵空间是对向量空间的扩展，因为矩阵的本质是向量，所以与向量空间类似，也存在矩阵空间。

　　在向量空间中，任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的，所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间，在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如，M是所有3×3矩阵构成的空间，空间内的矩阵可以相加，也可以数乘，其结果仍然是3×3矩阵。虽然可以把它们中的两个相乘，但是没人会那么做，因为乘法与向量空间没有关系。

　　看起来我们需要随时注意乘法的概念，线性代数中的乘法有别于中学时代标量间的乘法。向量与一个标量相乘，被明确定义为数乘；两个相同维度的向量间存在点积和叉乘，其写法上都与九九乘法表中的乘法类似，但是没有定义两个向量的乘法。虽然矩阵间定义了乘法，但存在限制，只有满足“攘外必先安内”原则的两个矩阵才能相乘。线性代数中的概念众多，学了线性代数后，再也不能愉快地做乘法了。

　　“攘外必先安内”：AB两个矩阵相乘，必须满足A的列数等于B的行数：

　　如果AB能够相乘，必须满足n = p，看起来n和p正好夹在m和q中间，m和q在外围：

　　相乘的结果当然是“共同御敌，一致对外”。

　　以3×3矩阵构成的空间M为例，M一共有9个元素，M的维度是9。M的标准基是：

矩阵的子空间

　　矩阵的子空间也是对向量子空间的扩展，矩阵子空间需要满足数乘和加法仍处于同一集合内。

　　矩阵空间M也有一些特殊的子空间，比如将M空间内的两个对称矩阵相加或数乘，仍然得到对称矩阵；上三角矩阵子空间，将空间内的两个矩阵相加或数乘，仍然得到上三角矩阵。仍然以3×3矩阵构成的空间M为例，看看M中的几个子空间。

对称矩阵子空间

　　设M中的对称子空间是S，6个对称矩阵构成了S的标准基：

　　S维度是6，表示为：

上三角矩阵子空间

　　设上三角矩阵子空间是U，U的维度也是6，它的维度表示为：

　　很明显，上三角矩阵的基是：

对角矩阵子空间

　　如果一个矩阵既是对称矩阵又是上三角矩阵，则这个矩阵称为对角矩阵(diagonal matrix)。对称矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（λ1, λ2,..., λn)。

　　主对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵就是单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且这些运算的结果仍为对角阵。

　　对角矩阵A：

　　数量矩阵，对称矩阵的对角元线上的元素都相等：

　　单位矩阵，对称矩阵的对角元线上的元素都为1：

　　M3×3内的对称矩阵和上三角矩阵的交集是一个对角矩阵，所有对角矩阵也构成一个子空间其维度是3：

　　很明显，S∩U的标准基是：

S+U矩阵子空间

　　对于S∪U，它或者在对称矩阵子空间S中，或者在上三角矩阵子空间U中，或者在对角矩阵子空间S∩U中。我们对S∪U不感兴趣，主要是的原因是S∪U并不能构成子空间，可以随便举个例子：

　　可以看到，U1 + S1是个没什么特点的矩阵，它不属于S∪U，所以不符合子空间的加法封闭性。

　　现在，我们将S∪U扩大一点，变成S + U，也就是不单独地取S和U中的矩阵，而是取S中的任一矩阵和U中的任一矩阵，将二者相加：

　　其结果是整个M空间，即：

　　当然，S + U的维数也是M的维数：

矩阵子空间维数的关系

　　现在将上面4个矩阵子空间的维数放在一起：

　　可以看出：

秩1矩阵

　　秩1矩阵就是秩为1的矩阵，它的行空间和列空间的维度都是1：

　　更进一步，秩1矩阵可以表示为一列乘以一行的形式：

　　我们之所以对秩1矩阵感兴趣，是因为可以通过秩1矩阵搭建出任意矩阵，比如秩为4的矩阵，可以通过4个秩1矩阵搭建而成。

　　如果M是所有5×10矩阵的矩阵空间，那么一个由秩4矩阵组成的子集是否是一个子空间？

　　当然不是，因为两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和。设P是M中两个任意秩4矩阵之和，P的秩可能是5，不在秩4矩阵集合内。虽然P是两个秩4矩阵之和，rank(P) ≤4 + 4 = 8，但由于P仍然在M5×10内，而M5×10中的矩阵的秩不会大于5，所以rank(P)的最大值是5。同理，M中由秩1矩阵组成的子集也不是子空间。