一、主成分分析

二、奇异值分解

2.1 奇异值分解原理

2.2 奇异值分解实践

三、特征值与特征向量

一、主成分分析

主成分有如下特征：

每个主成分是原变量的线性组合；
各个主成分之间互不相关；
主成分按照方差贡献率从大到小依次排列；
所有主成分的方差贡献率求和为1；
提取后的主成分通常小于原始数据变量的数量；
提取后的主成分尽可能地保留了原始变量中的大部分信息。

我们仍以经典的鸢尾花数据集对主成分分析进行介绍。

通过导入PCA进行主成分分析。

#导入库
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris#导入数据
data=load_iris()#主成分分析
model=PCA()
model.fit(data.data)#显示主成分信息
pd.DataFrame(model.transform(data.data),columns=["PC{}".format(x+1) for x in range(data.data.shape[1])])

上述结果给出了鸢尾花数据集的4个（全部）主成分，然而选择几个主成分需要进一步判断。这里可以通过计算主成分的累计贡献率进行判断，代码如下：

import matplotlib.ticker as ticker
import matplotlib.pyplot as plt
plt.gca().get_xaxis().set_major_locator(ticker.MaxNLocator(integer=True))
plt.plot([0]+list(np.cumsum(model.explained_variance_ratio_)),"-")
plt.xlabel("Number of principal componets")
plt.ylabel("Cumulative contribution rate")
plt.show()

从上图可以看出，主成分从0~1时非常陡峭，而从1往后区域平缓，因此，针对4维鸢尾花数据，我们只需要保留1个主成分，即将原4维数据降维到现在的1维。

利用下面的代码，我们可以用更加量化的方式查看主成分累积贡献率。

model.explained_variance_ratio_

结果显示，1个主成分就已经达到了92.46%，保留了原数据中绝大部分信息。

综上，主成分分析的全部代码如下：

#导入库
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris#导入数据
data=load_iris()#主成分分析
model=PCA()
model.fit(data.data)#显示主成分信息
pd.DataFrame(model.transform(data.data),columns=["PC{}".format(x+1) for x in range(data.data.shape[1])])#绘制主成分的累积贡献率的折线图
import matplotlib.ticker as ticker
import matplotlib.pyplot as plt
plt.gca().get_xaxis().set_major_locator(ticker.MaxNLocator(integer=True))
plt.plot([0]+list(np.cumsum(model.explained_variance_ratio_)),"-")
plt.xlabel("Number of principal componets")
plt.ylabel("Cumulative contribution rate")
plt.show()#量化主成分的累计贡献率
model.explained_variance_ratio_

二、奇异值分解

2.1 奇异值分解原理

奇异值分解（SVD）将一个任意矩阵进行分解，无须考虑特征值分解时需要矩阵是方阵的前提。

假设矩阵M是一个 $m\times n$ 阶矩阵，则可以将其分解为下面的三个矩阵相乘： $M=U\varepsilon V^{T}$

其中：

U是 $m\times n$ 阶正交矩阵， $UU^{T}=I$ ， $I$ 为单位矩阵；
$V^{T}$ 是 $n\times n$ 阶正交矩阵， $VV^{T}=I$ ；
$\varepsilon$ 是 $m \times m$ 阶非负实数对角矩阵， $\varepsilon =diag(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}),\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq ...\geq \sigma _{n}$ 。

这种将矩阵M分解的方法就被称为奇异值分解， $\varepsilon$ 矩阵上对角线上的元素即为M的奇异值。

考虑一个 $m> n$ 的任意矩阵，此时 $\varepsilon$ 的秩为n，矩阵中不同深度的灰色表示奇异值大小不同，对角线上的奇异值（假设存在n个非零的奇异值）依次从大到小进行排列。在这种情况下，矩阵U的最后m-n列失去了意义。

因此可以做进一步的变化，此时 $m \times m$ 阶的矩阵U变为 $m \times n$ 阶的矩阵 $U_{1}$ ， $m \times n$ 阶的矩阵 $\varepsilon$ 变为 $n \times n$ 阶的矩阵 $\varepsilon_{1}$ 。

当我们取k<n，比如k=2时，即认为前两个奇异值占总奇异值之和的比例非常大，因此可以如下图进行运算，尽管此时 $M_{2}\neq M$ ，但是由于删除的奇异值占比很小，我们可以认为 $M_{2}\approx M$ 。

2.2 奇异值分解实践

利用python可以很方便实现对矩阵的奇异值分解，例如对 $4 \times 5$ 阶的矩阵M进行奇异值分解：

$M=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0& 0 & 3 &0 &0 \\ 0& 0 & 0 &0 &0 \\ 0&4 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

代码如下：

import numpy as np
M=np.array([[1,0,0,0,2],[0,0,3,0,0],[0,0,0,0,0],[0,4,0,0,0]])
U,Sigma,VT=np.linalg.svd(M)
print("U:",U)
print("Sigma:",Sigma)
print("VT:",VT)

导入一张图片，下面的代码给出了地秩近似序列使用奇异值分解逼近的图片。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Imager_max=300  #设置最大的秩
Pic="C:\\Users\\LEGION\\Pictures\\Saved Pictures\\暨大logo.png"image=Image.open(Pic).convert("L")
img_mat=np.asarray(image)U,s,V=np.linalg.svd(img_mat,full_matrices=True)
s=np.diag(s)for k in range(r_max+1):approx=U[:,:k] @ s[0:k,:k] @ V[:k,:]img=plt.imshow(approx,cmap='gray')plt.title("SVD approximation with degree of %d"%(k))plt.plot()plt.pause(0.001)plt.clf()

三、特征值与特征向量

利用python与Numpy库，很容易得到一个矩阵的特征值和特征向量。

import numpy as np
A=np.array([[1,2],[3,4]])
a,b=np.linalg.eig(A)
print("A的特征值为：\n",a)
print('A的特征向量为：\n',b)

通过np.lianlg.eig()函数得到的特征向量是已经标准化的向量，即长度为1.改函数给出的特征值未按大小顺序排序。

除了特征值和特征向量外，协方差矩阵与相关系数矩阵也是降维分析中的重要概念。以鸢尾花的4个特征向量为例，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，相关系数矩阵的各元素是由各特征间的相关系数构成的。

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris#导入数
data=load_iris()
X=data.dataCov_X=np.cov(X.T)  #求解协方差矩阵
Cor_X=np.corrcoef(X.T)  #求解相关系数矩阵print("协方差矩阵：\n",Cov_X)
print("相关系数矩阵：\n",Cor_X)

利用协方差矩阵和相关系数矩阵可以求解主成分。这里以利用协方差矩阵为例进行说明。

沿用上面的协方差矩阵数据，可以求得其特征值和特征向量：

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris#导入数
data=load_iris()
X=data.dataCov_X=np.cov(X.T)  #求解协方差矩阵a,b=np.linalg.eig(Cov_X)
print("协方差矩阵的特征值为：\n",a)
print('协方差矩阵的特征向量为：\n',b)