1.向量空间、子空间、列空间

1.1 向量空间

向量空间是由列空间组成的

诸如下面 $\mathbf{v}$ 这样的类型的所有向量构成了空间 ${\mathbf{R}}^n$，可以将空间看作一个集合，集合中的每个元素都是一个类似于 $\mathbf{v}$ 的向量
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$$

如果向量 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 都是 向量空间 $\mathbf{S}$ 中的向量，那它们的线性组合也一定在向量空间$\mathbf{S}$ 中

其他向量空间（空间/集合内元素不是实数）

1.2 子空间

在数学上，子空间指的是维度小于全空间的部分空间。
所谓空间，所指为带有一些特定性质的集合，是故子空间可以算是子集合。（来自百度百科）

每一个子空间都包含零向量

${\mathbf{R}}^3$ 的所有子空间

关于子空间的例子：

1.3 列空间

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 中的 $\mathbf{b}$ 形成 $A$ 的列空间
To solve $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ is to express $\mathbf{b}$ as a combinations of the columns
向量空间是由列空间组成的

例子：
矩阵A的列空间为下图中的平面
即新基向量 $[142{]}^T$ 和 $[033{]}^T$ 所有线性组合后得到的向量所构成的空间