图像边缘检测——一阶微分算子 Roberts、Sobel、Prewitt、Kirsch、Robinson（Matlab实现）

article/2025/11/9 3:44:14

图像边缘一般指图像的灰度变化率最大的位置。成因主要如下：

1.图像灰度在表面法向变化不连续；

2.图像中物体在空间上的深度不一致；

3.在光滑的表面上颜色不一致；

4.图像中物体的光影

边缘检测指的是从图像中检测边缘点和边缘段，并且描述边缘方向的过程。图像可以看成二元函数f（x,y），（x，y）是pixel的位置，f(x,y)是该处的灰度值，这样图像就可以想象成是一个曲面。看作曲面以后，就可以用数学的方法来处理了。边缘即曲面上变化最剧烈的位置，这个位置也是曲面的局部极值点的位置，求极值大家都知道，可以用导数来求。

我们要做的一是找到边缘的位置，二是要确定边缘的方向，因为在描绘边缘的时候，要将相关的边缘连接成边缘线。

这里介绍的是用一阶微分算子来检测边缘。

求得图像的梯度场：

梯度的模值为：

梯度方向为：

方向导数与梯度具有如下关系：

由内积的计算方法可以得出：

由此我们得到，图像某一点（x,y）变化最快的方向是梯度的方向，变化最慢的方向是与梯度垂直的方向。

两个关键点：

1. 图像是离散的，微分算子也要离散化，我们用差分的方式去逼近微分，并将微分算子简化为模板；

2. 到底要不要把一个点看作边缘点，我们是通过设定一个阈值来判断的，微分后大于这个阈值，就判作边缘。

一个注意点：

导数是检测突变的地方，如果某处有噪声干扰，很容易误检，即一阶微分不能抵抗噪声。所以在使用一阶微分检测边缘之前，通常进行预处理抵抗噪声。

Roberts算子：

在（i+1/2,j+1/2）处差分

转化为模板即为

对于所有的微分算子而言，若只对|Rxf|进行阈值判决，则选择的是与x方向垂直的边缘；若只对|Ryf|进行阈值判决，则选择的是与y方向垂直的边缘;若选择的是对|Rxf|+|Ryf| 进行判决，则获得一般方向的边缘。

Sobel算子

中心差分，对于水平线和垂直线的四个点权重高

模板为

在实际运用中较多

Prewitt算子

模板为

Kirsch算子

8个模板，对应8个方向，最大值被选出

Robinson算子

规则同上，也是8个模板

lenn原图：

把lenna的图像看成二元函数对应的曲面：

下面是在matlab上的检测效果：（图片如果太小，可以放大浏览器的页面）

1.Robets算子

2.Sobel算子

3.Prewitt算子

4.Kirsch算子

Sobel的代码：

lenna = imread('E:\ImageTest\512\g512_006\lena.pgm');
subplot(241)
imshow(lenna,[]);title('原图')%画三维曲面图
% x = 1:512;
% y = 1:512;
% [X,Y] = meshgrid(x,y);
% Z=double(lenna);
% mesh(X,Y,Z);lenna_1 = edge(lenna,'sobel',0.06); 
subplot(242)
imshow(lenna_1,[]);title('Sobel 0.06')lenna_2 = edge(lenna,'sobel',0.09); 
subplot(243)
imshow(lenna_2,[]);title('Sobel 0.09')lenna_3 = edge(lenna,'sobel',0.12); 
subplot(244)
imshow(lenna_3,[]);title('Sobel 0.12')sigma = 0.6;     
N = 5;            %滤波模板大小是（2N+1）×（2N+1）  
N_row = 2*N+1;  
gausFilter = fspecial('gaussian',[N_row N_row],sigma);  %高斯滤波模板
lenna_0=imfilter(lenna,gausFilter,'conv');
subplot(245)
imshow(lenna_0,[]);title('滤波后')lenna_4 = edge(lenna_0,'sobel',0.06); 
subplot(246)
imshow(lenna_4,[]);title('Sobel 0.06')lenna_5 = edge(lenna_0,'sobel',0.09); 
subplot(247)
imshow(lenna_5,[]);title('Sobel 0.09')lenna_6 = edge(lenna_0,'sobel',0.12); 
subplot(248)
imshow(lenna_6,[]);title('Sobel 0.12')

Kirsch的代码：

clear
clc
close all
bw1=imread('E:\ImageTest\512\g512_006\lena.pgm');%---------------------------------------------------------------
%对图象进行预处理figure(1)
imshow(bw1,[])
title('原始图象')%对图象进行均值滤波
bw2=filter2(fspecial('average',3),bw1);%对图象进行高斯滤波
bw3=filter2(fspecial('gaussian'),bw2);%利用小波变换对图象进行降噪处理
[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',bw3);     %获得除噪的缺省参数
bw4=wdencmp('gbl',bw3,'sym4',2,thr,sorh,keepapp);%图象进行降噪处理%---------------------------------------------------------------------
%提取图象边缘
t=[0.8 1.0 1.5 2.0 2.5].*10^5 ;     %设定阈值
bw5=double(bw4);            
[m,n]=size(bw5);             
g=zeros(m,n); 
d=zeros(1,8);
%利用Kirsch算子进行边缘提取
for i=2:m-1for j=2:n-1d(1) =(5*bw5(i-1,j-1)+5*bw5(i-1,j)+5*bw5(i-1,j+1)-3*bw5(i,j-1)-3*bw5(i,j+1)-3*bw5(i+1,j-1)-3*bw5(i+1,j)-3*bw5(i+1,j+1))^2; d(2) =((-3)*bw5(i-1,j-1)+5*bw5(i-1,j)+5*bw5(i-1,j+1)-3*bw5(i,j-1)+5*bw5(i,j+1)-3*bw5(i+1,j-1)-3*bw5(i+1,j)-3*bw5(i+1,j+1))^2; d(3) =((-3)*bw5(i-1,j-1)-3*bw5(i-1,j)+5*bw5(i-1,j+1)-3*bw5(i,j-1)+5*bw5(i,j+1)-3*bw5(i+1,j-1)-3*bw5(i+1,j)+5*bw5(i+1,j+1))^2; d(4) =((-3)*bw5(i-1,j-1)-3*bw5(i-1,j)-3*bw5(i-1,j+1)-3*bw5(i,j-1)+5*bw5(i,j+1)-3*bw5(i+1,j-1)+5*bw5(i+1,j)+5*bw5(i+1,j+1))^2; d(5) =((-3)*bw5(i-1,j-1)-3*bw5(i-1,j)-3*bw5(i-1,j+1)-3*bw5(i,j-1)-3*bw5(i,j+1)+5*bw5(i+1,j-1)+5*bw5(i+1,j)+5*bw5(i+1,j+1))^2; d(6) =((-3)*bw5(i-1,j-1)-3*bw5(i-1,j)-3*bw5(i-1,j+1)+5*bw5(i,j-1)-3*bw5(i,j+1)+5*bw5(i+1,j-1)+5*bw5(i+1,j)-3*bw5(i+1,j+1))^2; d(7) =(5*bw5(i-1,j-1)-3*bw5(i-1,j)-3*bw5(i-1,j+1)+5*bw5(i,j-1)-3*bw5(i,j+1)+5*bw5(i+1,j-1)-3*bw5(i+1,j)-3*bw5(i+1,j+1))^2; d(8) =(5*bw5(i-1,j-1)+5*bw5(i-1,j)-3*bw5(i-1,j+1)+5*bw5(i,j-1)-3*bw5(i,j+1)-3*bw5(i+1,j-1)-3*bw5(i+1,j)-3*bw5(i+1,j+1))^2;      g(i,j) = max(d);end
end %显示边缘提取后的图象
figure(5)
for k=1:5for i=1:mfor j=1:nif g(i,j)>t(k)bw5(i,j)=255;           elsebw5(i,j)=0;endendendsubplot(1,5,k)imshow(bw5,[])title(['Kirsch' '  ' num2str(t(k))])
end