机器学习MATLAB实现：Matlab-梯度Roberts算子、拉普拉斯算子、Sobel算子、Prewitt算子对图像进行锐化

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1. 锐化

1.锐化(Sharpening) ：图像在传输或变换过程中（如未聚焦好）、受到各种干扰而退化，典型的是图像模糊，而图像的判读和识别中，常需突出目标的轮廓或边缘信息。
2.边缘锐化：主要增强图像的轮廓边缘、细节（ 灰度跳变部分），以突出图像中景物的边缘或纹理，形成完整的物体边界，使边缘和轮廓模糊的图像清晰，又叫空域高通滤波（俗称为勾边处理）。
从数学角度看，图像模糊相当于图像被平均或者积分，为实现图像的锐化，我们需要运用它的反运算“微分”——加强高频分量，实现轮廓清晰。

2. 梯度运算

设图像$f(x,y)$为定义在点$(x,y)$的梯度矢量为$G[f(x,y)]$：
$$\mathbf{G}[f(x,y)]=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right]={\left[\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}\right]}^{\top }=\nabla f(x,y)$$
性质：

1. 梯度的方向是在$f(x,y)$的最大变化率方向
2. 梯度的幅度用$G[f(x,y)]$表示：

$$G[f(x,y)]={\left[{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2\right]}^{1/2}$$
对于数字图像来说，梯度的求解从求偏导变成了相减
$$G[f(x,y)]={\left\{[f(i,j)-f(i+1,j){]}^2+[f(i,j)-f(i,j+1){]}^2\right\}}^{1/2}$$
简化为$$G[f(x,y)]\approx |f(i,j)-f(i+1,j)|+|f(i,j)-f(i,j+1)|$$

3. 边缘检测的分类

（1）一阶导数的边缘算子
通过模板作为核与图像的每个像素点做卷积和运算，然后选取合适的阈值来提取图像的边缘。常见的有Roberts算子、Sobel算子和Prewitt算子。
（2）二阶导数的边缘算子
依据于二阶导数过零点，常见的有Laplacian 算子，此类算子对噪声敏感。
（3）其他边缘算子
前面两类均是通过微分算子来检测图像边缘，还有一种就是Canny算子，其是在满足一定约束条件下推导出来的边缘检测最优化算子。

4. Roberts算子

对于第二节所讲的数字梯度运算，我们将其公式改变为$$G[f(x,y)]\approx |f(i,j)-f(i+1,j+1)|+|f(i+1,j)-f(i,j+1)|$$
这种交叉梯度我们称之为Roberts梯度。

5. sobel算子

基本思想：以待增强图像的任意象素$(i,j)$为中心，截取一个$3\times 3$的象素窗口，先分别计算窗口中心象素在$x$，$y$方向的梯度:
$\begin{array}{rl}& S_x=[f(i-1,j+1)+2f(i,j+1)+f(i+1,j+1)]-[f(i-1,j-1)+2f(i,j-1)+f(i+1,j-1)]\\ & S_y=[f(i+1,j-1)+2f(i+1,j)+f(i+1,j+1)]-[f(i-1,j-1)+2f(i-1,j)+f(i-1,j+1)]\end{array}$
增强后的$(i,j)$的灰度： $f^{\prime }(i,j)=\sqrt{S_x^2+S_y^2}$
可以简化为：$f^{\prime }(i,j)=|S_x|+|S_y|$
优点:

• 由于引入了加权平均，所以对图像中的随机噪声具有一定的平滑作用。
• 由于采用间隔两行或两列的差分，边缘两侧的象素得到增强，锐化图像的边缘显得粗而亮。

$Sx,Sy$可用卷积模板来实现 可用卷积模板来实现：
$$S_x=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right]S_y=\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$$
可见：其重点放在接近于模板中心的象素点

6. Prewitt算子

基本思想：与Sobel算子相同，方程的形式相同，但其中系数不同:
$$\begin{array}{c}{S}_x=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 0& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]S_y=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\\ \\ S_p=\sqrt{S_x^2+S_y^2}\end{array}$$
可见：与Sobel算子不同 ，其重点没有放在接近于模板中心的象素点。

7. 拉普拉斯算子

基本思想：拉普拉斯(Laplacian) 算子是 n 维欧几里德空间中的一个二阶微分算子。${\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ 具有各向同性。

1. 对于数字图像$f(x,y)$ ，其一阶导数为：
   $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f(i,j)}{\partial x}={\Delta }_{x}f(i,j)=f(i,j)-f(i-1,j)\\ \\ \frac{\partial f(i,j)}{\partial y}={\Delta }_{y}f(i,j)=f(i,j)-f(i,j-1)\end{array}$$
2. $f(x,y)$ ，其二阶导数为：
   $$\{\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f(i,j)}{\partial x^2}& ={\Delta }_{x}f(i+1,j)-{\Delta }_{x}f(i,j)\\ & =[f(i+1,j)-f(i,j)]-[f(i,j)-f(i-1,j)]\\ & =f(i+1,j)+f(i-1,j)-2f(i,j)\\ & \\ \frac{{\partial }^{2}f(i,j)}{\partial y^2}& =f(i,j+1)+f(i,j-1)-2f(i,j)\end{array}$$
3. 拉普拉斯算子为：$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{2}f(i,j)& ={\Delta }_x^{2}f(i,j)+{\Delta }_y^2(i,j)\\ & =f(i+1,j)+f(i-1,j)+f(i,j+1)+f(i,j-1)-4f(i,j)\\ & =-5\left\{f(i,j)-\frac{1}{5}[f(i+1,j)+f(i-1,j)+f(i,j+1)+f(i,j-1)+f(i,j)]\right\}\end{array}$$

其中，Laplacian算子四邻域模板如下所示：
$$\mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 4& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$$
Laplacian算子八邻域模板如下所示
$$\mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$$
可见：

• 当邻域内像素灰度相同时，模板的卷积运算结果为0；
• 当中心像素灰度高于邻域内其他像素的平均灰度时，模板的卷积运算结果为正数；
• 当中心像素的灰度低于邻域内其他像素的平均灰度时，模板的卷积为负数。对卷积运算的结果用适当的衰弱因子处理并加在原中心像素上，就可以实现图像的锐化处理。

8. matlab代码实现

clc;clear all;
img = imread('C:\Users\lihuanyu\Desktop\opencv\image\lena256.bmp');
figure;
imshow(img),title("原图像");
[ROW,COL] = size(img);
img = double(img);
new_img = zeros(ROW,COL); %新建画布
%定义robert算子
roberts_x = [1,0;0,-1];
roberts_y = [0,-1;1,0];
for i = 1:ROW - 1for j = 1:COL - 1funBox = img(i:i+1,j:j+1);G_x = roberts_x .* funBox;G_x = abs(sum(G_x(:)));G_y = roberts_y .* funBox;G_y = abs(sum(G_y(:)));roberts_xy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;new_img(i,j) = roberts_xy;end
end
figure(2);
imshow(new_img/255),title("robert算子的图像");
% 定义laplace算子
laplace = [0,1,0;1,-4,1;0,1,0];
for i = 1:ROW - 2for j = 1:COL - 2funBox = img(i:i+2,j:j+2);G = laplace .* funBox;G = abs(sum(G(:)));new_img(i+1,j+1) = G;end
end
figure(3)
imshow(new_img/255),title("laplace算子的图像");
%定义sobel算子
sobel_x = [-1,0,1;-2,0,2;-1,0,1];
sobel_y = [-1,-2,-1;0,0,0;1,2,1];
for i = 1:ROW - 2for j = 1:COL - 2funBox = img(i:i+2,j:j+2);G_x = sobel_x .* funBox;G_x = abs(sum(G_x(:)));G_y = sobel_y .* funBox;G_y = abs(sum(G_y(:)));sobelxy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;new_img(i+1,j+1) = sobelxy;end
end
figure(4);
imshow(new_img/255),title("sobel的图像");
%定义Prewitt算子
sobel_x = [-1,0,1;-1,0,1;-1,0,1];
sobel_y = [-1,-1,-1;0,0,0;1,1,1];
for i = 1:ROW - 2for j = 1:COL - 2funBox = img(i:i+2,j:j+2);G_x = sobel_x .* funBox;G_x = abs(sum(G_x(:)));G_y = sobel_y .* funBox;G_y = abs(sum(G_y(:)));sobelxy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;new_img(i+1,j+1) = sobelxy;end
end
figure(5);
imshow(new_img/255),title("Prewitt的图像");

原图：

结果：