旧文重发，原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/pHRS9BfkCMe1uQOSkHmqAw
关于空间计量模型，小编是通过阅读勒沙杰（James LeSage）和佩斯（R.Kelley Pace）合著的《空间计量经济学导论》（Introduction of Spatial Econometrics）入门的，但是当时着重的是理解这些模型，并没有用代码去实现。
作者也提供了书中模型的Matlab代码，可以在网站http://www.spatial-econometrics.com/（Econometrics Toolbox: by James P. LeSage）上查看。另外，作者之一的佩斯还有一个网站http://www.spatial-statistics.com/（Spatial Statistics Software and Articles）,上面有一些空间统计领域的Matlab工具箱和论文。
由于小编目前也在学习阶段，因此本篇只会使用R语言去实现这些模型的一些比较简单的形式，使用的工具包是spatialreg，后续可能会分享一些更复杂的内容。
1 模型形式
1.1 空间滞后模型
自回归模型（Autoregressive Model，AR）在时间序列分析中很易理解，即因变量与它的时间滞后值（Lag）存在相关性，这也意味着自回归模型放弃了因变量独立性的假设。
在空间计量模型中，空间滞后值被认为是邻近空间单元的属性（加权）值，因此下面是一个形式比较简单的空间自回归模型（最简单的形式应该是不包含自变量），也就是空间滞后模型（Spatial Lagged Model，SLM）：
空间自回归模型一般就是指空间滞后模型，但它也有一个更广义的概念，即所有包含因变量的空间滞后项的模型；
模型估计时会首先对参数进行估计，再使用广义最小二乘法估计和其他参数。
1.2 空间误差模型
空间误差模型（Spatial Error Model，SEM）可以分解成如下两步：
上述两式合并得，
402 Payment Required
第一个式子并非线性模型，因为不需要服从正态分布；
模型估计时会首先对参数进行估计，再使用广义最小二乘法估计和其他参数。
1.3 空间杜宾模型
空间杜宾模型（Spatial Durbin Model，SDM）假定因变量取值除受本地自变量的影响外，还会受到邻近地区的自变量影响，即在模型中加入自变量的空间滞后值：
402 Payment Required
1.4 复合模型
上述三个模型各自有针对性的假设，但这些假设相互之间并不排斥，可以在同一个模型中存在。
1.4.1 空间自相关模型
该模型综合了空间滞后模型和空间误差模型，称作空间自相关模型（Spatial Autocorrelation Model，SAC）；
当或其中一个为0时，SAC就退化成了SEM或SLM。
1.4.2 空间杜宾（滞后）模型
402 Payment Required
该模型综合了空间滞后模型和空间杜宾模型，但习惯上仍称作是空间杜宾模型。
1.4.3 空间杜宾误差模型
该模型综合了空间误差模型和空间杜宾模型，称作空间杜宾误差模型（Spatial Durbin Error Model，SDEM）。
1.4.4 空间自相关杜宾模型
该模型是最一般的形式，同时综合了三种基本模型，也可以认为是综合了空间自相关模型和空间杜宾模型。
2 R语言代码
2.1 函数概述
上述7个模型形式可以通过spatialreg工具包中的3个函数来实现：
lagsarlm()：空间滞后模型、空间杜宾（滞后）模型errorsarlm()：空间误差模型、空间杜宾误差模型sacsarlm()：空间自相关模型、空间自相关杜宾模型
2.2 线性模型
示例数据如下：
library(sf)
library(tidyverse)
usa <- albersusa::counties_sf(proj = "laea") %>%mutate(fips = as.character(fips)) %>%left_join(socviz::county_data, by = c("fips" = "id"))因变量取收入，自变量取黑人比例。在运行空间计量模型前，先使用线性模型进行建模：
data <- st_drop_geometry(usa)
model <- lm(hh_income ~ black, data = data)summary(model)
## Call:
## lm(formula = hh_income ~ black, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -27680 -7341 -2171 4653 76006
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 47765.53 244.55 195.32 <2e-16 ***
## black -199.18 14.29 -13.94 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 11570 on 3141 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.05825, Adjusted R-squared: 0.05795
## F-statistic: 194.3 on 1 and 3141 DF, p-value: < 2.2e-162.3 莫兰指数
使用莫兰指数检验因变量的空间自相关性：
library(spdep)
nb <- poly2nb(usa)
listW <- nb2listw(nb, zero.policy = T)jpeg("1.jpeg", width = 8, height = 6, res = 600, units = "in")
moran.plot(usa$hh_income, listW,zero.policy = T,labels = F,pch = 20, cex = 0.1)
dev.off()
部分县没有邻接单元，设置
zero.policy = T可以允许空间权重矩阵（实际空间数据结构是list）存在空元素。
2.4 空间计量模型
以lagsarlm()函数为例，它的完整语法结构如下：
lagsarlm(formula, data = list(),listw, na.action,Durbin, type,method="eigen", quiet=NULL,zero.policy=NULL, interval=NULL,tol.solve=.Machine$double.eps,trs=NULL, control=list())本篇仅涉及以下几个参数，其余参数使用...代替：
lagsarlm(formula, data = list(),listw, Durbin,zero.policy = NULL,...,)
formula：与对应的线性模型的表达式一致；
data：变量所在的数据框；
listw：空间权重矩阵；
Durbin：是否在模型中加入自变量的空间滞后值；
zero.policy：针对权重矩阵存在空元素的应对方案，TRUE表示对应的空间滞后的权重为0。
2.4.1 空间滞后模型
library(spatialreg)
sl_model <- lagsarlm(hh_income ~ black, data = data,listw = listW, zero.policy = T)summary(sl_model)
## Call:lagsarlm(formula = hh_income ~ black, data = data, listw = listW,
## zero.policy = T)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -26914.4 -4772.3 -1298.9 2996.4 72040.0
##
## Type: lag
## Regions with no neighbours included:
## 2788 2836 2995 3135 3140 3141 3143
## Coefficients: (numerical Hessian approximate standard errors)
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 14401.438 628.923 22.899 < 2.2e-16
## black -121.955 10.236 -11.915 < 2.2e-16
##
## Rho: 0.71234, LR test value: 1783.5, p-value: < 2.22e-16
## Approximate (numerical Hessian) standard error: 0.012906
## z-value: 55.195, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 3046.5, p-value: < 2.22e-16
##
## Log likelihood: -32973.68 for lag model
## ML residual variance (sigma squared): 67335000, (sigma: 8205.8)
## Number of observations: 3143
## Number of parameters estimated: 4
## AIC: 65955, (AIC for lm: 67737)2.4.2 空间误差模型
library(spatialreg)
se_model <- errorsarlm(hh_income ~ black, data = data,listw = listW, zero.policy = T)summary(se_model)
## Call:errorsarlm(formula = hh_income ~ black, data = data, listw = listW,
## zero.policy = T)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30053.7 -4590.2 -1184.3 2843.3 56012.9
##
## Type: error
## Regions with no neighbours included:
## 2788 2836 2995 3135 3140 3141 3143
## Coefficients: (asymptotic standard errors)
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 50696.822 725.463 69.882 < 2.2e-16
## black -400.074 18.035 -22.183 < 2.2e-16
##
## Lambda: 0.82333, LR test value: 2384.3, p-value: < 2.22e-16
## Approximate (numerical Hessian) standard error: 0.011128
## z-value: 73.99, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 5474.5, p-value: < 2.22e-16
##
## Log likelihood: -32673.29 for error model
## ML residual variance (sigma squared): 52510000, (sigma: 7246.4)
## Number of observations: 3143
## Number of parameters estimated: 4
## AIC: 65355, (AIC for lm: 67737)2.4.3 空间杜宾误差模型
library(spatialreg)
sd_model <- errorsarlm(hh_income ~ black, data = data,listw = listW, zero.policy = T,Durbin = T)summary(sd_model)
## Call:errorsarlm(formula = hh_income ~ black, data = data, listw = listW,
## Durbin = T, zero.policy = T)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -29657.6 -4639.4 -1123.4 2817.7 56324.1
##
## Type: error
## Regions with no neighbours included:
## 2788 2836 2995 3135 3140 3141 3143
## Coefficients: (asymptotic standard errors)
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 48577.976 753.720 64.4509 < 2.2e-16
## black -392.654 17.888 -21.9512 < 2.2e-16
## lag.black 223.080 36.404 6.1278 8.909e-10
##
## Lambda: 0.81169, LR test value: 2384.6, p-value: < 2.22e-16
## Approximate (numerical Hessian) standard error: 0.011396
## z-value: 71.228, p-value: < 2.22e-16
## Wald statistic: 5073.5, p-value: < 2.22e-16
##
## Log likelihood: -32655.17 for error model
## ML residual variance (sigma squared): 52280000, (sigma: 7230.5)
## Number of observations: 3143
## Number of parameters estimated: 5
## AIC: 65320, (AIC for lm: 67703)
