等可能概型(古典概型)

定义：若实验满足：

• 样本空间 S 种样本点有限（有限性）
• 出现每一个样本点的概率相等（等可能性）

称这种试验为等可能概型（或古典概型）

$$P(A)=\frac{A所包含的样本点数}{S中的样本点数}$$

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例 1： 一袋中有5个球，其中3个为白球，2个为蓝球，设取到每一球的可能性相等.

（1）从袋中随机取一球,记A={ 取到白球 },求P(A)．

（2）从袋中不放回取两球,记B={两个都是白球},求
P(B)．

先说明下抽样方法：

不放回抽样： 第 1 次取出一个球，记录其颜色，不再放回，第 2 次从剩余的球中取出一球；

放回抽样： 第 1 次取出一个球，记录其颜色，放回，第 2 次依然从全部的球中取出一球．

解： 将球编号，白球为 1，2，3，蓝球为 4，5.

（1） S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , A = { 1 , 2 , 3 } ⟹ P ( A ) = 3 5 S = \{1,2,3,4,5\}, A = \{1,2,3\}\implies P(A) = \frac{3}{5} S={1,2,3,4,5},A={1,2,3}⟹P(A)=53​

（2） S = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , . . . ( 5 , 3 ) , ( 5 , 4 ) } , S = \{(1,2),(1,3),...(5,3),(5,4)\}, S={(1,2),(1,3),...(5,3),(5,4)},

B = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) } . B=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}. B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.

$S$ 所包含的样本点数是 5x4
$A$ 所包含的样本点数是 3x2

$P(B)=\frac{3\times 2}{5\times 4}=\frac{C_3^2}{C_5^2}=0.3$

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一般地，如果有 $N$ 个球，其中 $a$ 个白球， $b=N-a$ 个蓝球采用不放回抽样取n个球($n\le N$)，记 A k = { 恰 好 取 到 k 个 白 球 } ( k ≤ a ) A_k=\{恰好取到k个白球\} (k\leq a) Ak​={恰好取到k个白球}(k≤a)，则

$$P(A_k)=\frac{C_a^k{C}_b^{n-k}}{C_N^n},其中C_N^n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)=\frac{N!}{n!(N-n)!}$$

$$P(A_0)=\frac{C_a^0{C}_b^n}{C_N^n},P(A_1)=\frac{C_a^1{C}_b^{n-1}}{C_N^n},P(A_2)=\frac{C_a^2{C}_b^{n-2}}{C_N^n}$$

$P(至少取到2个白球)=1-P(A_0)-P(A_1)$

$P(至多取到2个白球)=P(A_0)+P(A_1)+P(A_2)$

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例 2： 足球场内23个人(双方队员 11 人加 1 名主裁），至少有两人生日相同的概率为多大？

解： 假设每个人的生日在一年 365 天是等可能的。所以 23 人的生日共有 $365^{23}$ 种可能结果。

先考虑事件 A: “任何两人生日不同”，

要使 A 发生，共有 $365\times 364\times ...\times (365-22)$ 种可能。

因此，$P(A)=\frac{365\times 364\times ...\times (365-22)}{365^{23}}\approx 0.493$

$P(\overline{A})=1-P(A)=0.507>0.5$

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例 3： (抽签问题)一袋中有 a 个白球， b 个蓝球，记 a+b=n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第 k 次摸到白球的概率。

记 A k = { 第 k 次 摸 到 白 球 } , k = 1 , 2 , . . . , n . 求 P ( A k ) . A_k = \{第 k 次摸到白球\}, k = 1,2,...,n. 求 P(A_k). Ak​={第k次摸到白球},k=1,2,...,n.求P(Ak​).

解 1. 将 n 个球依次编号为 :1,2,…,n,其中前 a 号是白球。

视 1，2，…，n 的每一个排列为一样本点，则每一样本点等概率。

$P(A_k)=\frac{a(a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b}与k无关$

解 2. 将第 k 次摸到的球号作为一个样本点，由对称性，取到各球的概率相等。

S = { 1 , 2 , . . . , a , a + 1 , . . . , n } S = \{1,2,...,a,a+1,...,n \} S={1,2,...,a,a+1,...,n}

$A_k=1,2,...,a$

$⟹P(A_k)=\frac{a}{n}=\frac{a}{a+b}$