1 概率

1.1 定义

定义 (概率的公理化定义)：设 $E$ 是随机试验，其样本空间 $S$ ，对于 $E$ 的每一事件 $A$ 赋于一个实数，记为 $P(A)$，称为事件 $A$ 的概率,集合函数 $P(\cdot )$ 满足下列条件：
(1) 非负性：对于每一个事件 $A$ ，有 $P(A)\ge 0$
(2) 规范性: 对于必然事件 $S$ ，有 $P(S)=1$
(3) 可列可加性: 设$A_1,A_2,\dots$是一组两两互不相容的事件, 即对于 $i\ne j,A_i{A}_j=\Phi ,i,j=1,2,\dots$则有$P(A_1\cup A_2\cup \cdots )=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$

1.2 性质

(1) $P(\varnothing )=0$
(2) (有限可加性) 若$A_1,A_2,\dots ,A_n$是两两互不相容的事件, 则 $P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)$
(3) (差事件的概率) 对任意事件$A,B$有 $P(B-A)=P(B)-P(AB)$
(4) 对于任一事件$A$，有 $P(A)\le 1$
(5) (逆事件的概率) 对任一事件$A$，$P(\bar{A})=1-P(A)$
(6) (加法公式) 对于任意两事件$A,B$ 有 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
推论: 设$A_1,A_2,A_3$为任意三个事件，则有：
$$\begin{array}{rl}P(A_1\cup A_2\cup A_3)& =P(A_1)+P(A_2\cup A_3)-P(A_1(A_2\cup A_3))\\ & =P(A_1)+P(A_2\cup A_3)-P(A_1{A}_2\cup A_1{A}_3))\\ & =P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1{A}_2)-P(A_1{A}_3)-P(A_2{A}_3)+P(A_1{A}_2{A}_3)\end{array}$$

2 古典概型

2.1 定义

定义：设 $E$ 是试验，$S$ 是 $E$ 的样本空间，若满足：
(1) 试验的样本空间的元素只有有限个
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同
这种试验称为等可能概型或古典概型。

2.2 计算公式

设试验𝐸的样本空间 S = { e 1 , e 2 , . . . e 3 } S=\{e_1,e_2,...e_3\} S={e1​,e2​,...e3​}，且每个基本事件发生的可能性相同，若$A$包含$k$个基本事件，即则有$A=e_{i_1}\cup e_{i_2}\cup ...e_{i_k}\cup (1\le i_1<i_2<...<i_k\le n)$
P ( A ) = ∑ j = 1 k P ( { e i j } ) = k n = A 包 含 的 基 本 事 件 数 S 中 基 本 事 件 的 总 数 \begin{aligned} P(A)&=\sum_{j=1}^{k}P(\{e_{i_j}\}) \\ &=\frac {k}{n} \\ &=\frac {A包含的基本事件数}{S中基本事件的总数} \end{aligned} P(A)​=j=1∑k​P({eij​​})=nk​=S中基本事件的总数A包含的基本事件数​​
经典问题：【三门问题】
问题描述：假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后，知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

如上图所示，玩家一开始选定的门有三种情况。在不换的情况下：开始选中一号门为车，则得到车；开始选中二号门为山羊，则得不到车；开始选中三号门为山羊，则得不到车；在这种情况下选中车的概率为$\frac{1}{3}$。在换的情况下：开始选中一号门为车，则得不到车；开始选中二号门为山羊，则得到车；开始选中三号门为山羊，则得到车；在这种情况下选中车的概率为$\frac{2}{3}$。则换门更高概率获得车。
经典例题：
在一批 $n$ 个产品中，有 $m$ 个次品，从这批产品中任取 $k$ 个产品，求其恰有$l$个 ( $l\le m$) 次品的概率。
解：从$n$个产品中任取$k$个产品，共有 $C_n^k$ 种取法，故基本事件总数为 $C_n^k$。
设 $A$=“取出 $k$ 个产品中恰有 $l$ 个次品”，若事件$A$发生，即从$m$个次品中取 $l$ 个次品，从$m-n$个正品中取$k-l$个正品，故事件$A$所包含的基本事件数为 $C_m^l\cdot C_{n-m}^{k-l}$
$$\therefore P(A)=\frac{C_m^l\cdot C_{n-m}^{k-l}}{C_n^k}\text{\hspace{1em}(超几何分布)}$$

3 条件概率

3.1 定义

定义：设$A,B$ 是两个随机事件，且 $P(A)>0$，称$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$为事件$A$ 发生的条件下事件$B$发生的条件概率。

3.2 性质

条件概率 $P(\cdot |A)$ 满足概率的三个基本属性：
(1) 对于任一事件$B$，有 $P(B|A)\ge 0$
(2) $P(S|A)=1$
(3) 设$B_1,B_2,\dots$是两两不相容的事件，则有$P(U_{i=1}^{\infty }{B}_i|A)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(B_i|A)$
由于条件概率符合概率定义的三个条件，所以前面所证明的一些概率性质对于条件概率也同样适用，如：
对于任意事件$B_1,B_2$，有：
$$P(B_1\cup B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1{B}_2|A)$$
对于任意事件$B$，有：
$$P(\bar{B}|A)=1-P(B|A)$$

3.3 乘法定理

定理(乘法定理) 对于任意的事件$A,B$，若$P(A)>0$ ，
$$\begin{array}{rl}P(AB)& =P(A)P(B|A)，乘法公式\\ P(AB)& =P(B)P(A|B)，P(B)>0\end{array}$$
乘法公式可以推广到多个事件的情形:
(1) 设$A,B,C$为事件，且$P(AB)>0$，则有
$$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|BA)$$
(2) 设$A_1,A_2,\dots A_n$ 为n个事件, 且$P(A_1{A}_2\dots A_{n-1})>0$：
$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$$
在某些问题中，条件概率是已知的或者是比较容易求得的，在这种情况下，就可以利用乘法公式来计算积事件的概率。
经典例题：
设袋中装有$r$只红球，$t$只白球. 每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入$a$只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解：记 $A_i$ = “第$i$次取到红球” ，$i$ = $1,2,3,4$，则${\bar{A}}_i$ = “第$i$次取到白球” ，$i$ = $1,2,3,4$，所求概率为$P(A_1{A}_2{\bar{A}}_3{\bar{A}}_4)$。
$$\begin{array}{rl}P(A_1{A}_2{\bar{A}}_3{\bar{A}}_4)& =P(A_1)P(A_2|A_1)P({\bar{A}}_3|A_1{A}_2)P({\bar{A}}_4|A_1{A}_2{\bar{A}}_3)\\ & =\frac{r}{r+t}\cdot \frac{r+a}{r+t+a}\cdot \frac{t}{r+t+2a}\cdot \frac{t+a}{r+t+3a}\end{array}$$