目录

1  古典概型（等可能模型 / 等概率模型）

1.1 古典概型的定义

1.2  现实的例子很多

1.3 古典概型的核心要求

1.4 古典概型的好处

1.4.1 足够直观

1.4.2 适应面广，只要基础事件概型相等即可套用

1.4.3  适应面广，只要各个事件发生概率相等，可使用放回抽样 或 不放回抽样，并不要求像 伯努利试验那样每次都独立/概率稳定

1.4.3 计算简单，可以用组合数计算等

1.5 古典概型的特殊之处

1.6 题目1：从10个球，2黑，8白，放回抽样（概率不变化）

1.7 题目2：从10个球，2黑，8白，不放回抽样

2  伯努利概型  (伯努利试验) （重点是只划分为2种结果+多次试验概率稳定！！！）

2.1 定义

2.2 伯努利试验与3种概率分布

2.3 优势

2.4 灵活的地方

2.5  局限性 和注意点

3 古典概型和伯努利概型

3.1 有差别的地方

4  举例 

4.1   题目1：10个球，包含1个白球，9个黑球，求摸1次里面有白球的概率

4.2 题目2：10个球，包含1个白球，9个黑球，求摸2次里面有白球的概率（放回）

4.2.1  古典概型的计算思路 （用组合数算)

4.2.2 如果用二项分布的计算思路(用概率算)

4.3 题目3：10个球，包含1个白球，9个黑球，求摸2次里面有白球的概率（不放回/或者一次拿2个球）

4.3.1 注意不放回的特征

4.3.2 如果用二项分布的计算思路(用概率算)

4.3.3 如果用超几何分布的计算思路(用概率算)

其他 下面是作废的内容（未整理）

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1  古典概型（等可能模型 / 等概率模型）

1.1 古典概型的定义

      百度百科：古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯 (Laplace ) 提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型

1.2  现实的例子很多

举例子

• 一般的6面骰
• 各种DND的骰子也是是概率相等
• 丢硬币也是概率相等
• 从一堆球里抽一个也是概率相等

1.3 古典概型的核心要求

古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，古典概型具有两个特征：

• 随机试验的样本空间只包括有限个元素，即所有可能的结果是有限的( 不要求只有2种)
• 随机试验中每个基本事件（试验结果）发生的可能性相同。( 要求每种结果的发生概率相等)

这些核心要求，对应的就是局限性

• 如果不能抽象为等概率，也用不了

• 如果没有总体不是有限的，也没法用

1.4 古典概型的好处

1.4.1 足够直观

• 直观
• 足够简单
• 现实中确实有不少这样的对应模型，或者模型简化为古典概型。

1.4.2 适应面广，只要基础事件概型相等即可套用

• 古典概型看起来很笨，但是实际上还挺灵活的
• 古典概型有点万金油？
• 比如
• 只要随机试验的基础是可以划分为等概率就可以，比如10个球，2白8黑，虽然白黑概率不相等，但是10个球本身概率是相等的。
• 古典概型，一般是通过计算事件总数，p= 目标事件总数/ 样本空间事件总数
• 唯二的注意点：如果是多次随机试验，古典概型需要单次计算每次的概率，然后乘法原则*连起来。~ ~

1.4.3  适应面广，只要各个事件发生概率相等，可使用放回抽样 或 不放回抽样，并不要求像 伯努利试验那样每次都独立/概率稳定

• 古典概型，可以适合放回抽样，也适合不放回抽样
• 因为是不放回抽样，可以用 组合数计算，也可以用超几何分布计算，结果一样

• 并不要求每次试验是相互独立的，第一次试验可以改变样本总量，对第2次试验造成影响
• 可以每次都分步计算，
• 每步都计算时，引用不同的样本总量空间/可以变化

1.4.3 计算简单，可以用组合数计算等

• 古典概型的计算简单
• 是一种总体视角
• 古典分布的计算，可以认为是穷举法--但是因为排列组合引入，其实穷举范围很广，方便计算

1.5 古典概型的特殊之处

• 样本空间数量，但是样本空间可以变化
• 也就是适用放回抽样和不放回抽样（不放回抽样，每2次试验样本总量肯定变化了！不是伯努利试验，也就是不放回抽样肯定不能是伯努利分布）
• 因为古典概型，用组合数计算，每步可以单独计算，所以样本空间变化也可以。
• 比如下面2个题目对比

1.6 题目1：从10个球，2黑，8白，放回抽样（概率不变化）

题目1：从10个球，2黑，8白，放回抽样（概率不变化）

连续2次抽到都是黑球概率

• 第1次抽到黑球  c(1,2)/c(1,10) =2/10 =1/5
• 第2次抽到黑球  c(1,2)/c(1,10) =2/10 =1/5
• 连续2次抽到黑球概率   =1/5*1/5=1/25

连续2次抽到都是白球概率

• 第1次抽到白球  c(1,8)/c(1,10) =8/10 
• 第2次抽到白球  c(1,8)/c(1,10) =8/10 
• 连续2次抽到黑球概率   =8/10*8/10=64/100=16/25

连续2次抽到都是一黑一白的概率

• 第1次抽到黑球第2次白  c(1,2)/c(1,10) *  c(1,8)/c(1,10)=  16/100
• 第1次抽到白球第2次黑  c(1,8)/c(1,10) *  c(1,2)/c(1,10)=  16/100
• 连续2次都是1黑1白     =16/100+16/100=32/100=8/25

因为连续2次抽球只有这4种情况，不关心次序的话可归纳为3种情况

• 黑黑
• 黑白
• 白黑（不关系次序的话，黑白+白黑=1黑1白）
• 白白
• p(黑黑)+p(1黑1白)+p(白白) =1
• 1/25+8/25+16/25=25/25=1

1.7 题目2：从10个球，2黑，8白，不放回抽样

第2个题目，因为是不放回抽样，可以用 组合数计算，也可以用超几何分布计算，结果一样

• 比如10个球，2个黑球，8个白球，求抽2次2次都是黑球的概率
• 虽然白球和黑球，2者概率不同，但是基础的球是等概率的。所以可以用古典概型来计算，p(x=2) =C(2,1)/C(10,1) * C(1,1)/C(9,1)=2/10*1/9=1/45
• 这个计算结果和超几何分布的计算是一样的。
• p(x=2) =C(2,2)*C(8,0)/C(10,2)=1*1/(10*9/2)=2/90=1/45

题目2：从10个球，2黑，8白，不放回抽样

连续2次抽到都是黑球概率 （或者是一次抽2个球也看做两抽2次不放回）

• 第1次抽到黑球  c(1,2)/c(1,10) =2/10=1/5
• 第2次抽到黑球  c(1,1)/c(1,9) =1/9
• 连续2次抽到黑球概率   =1/5*1/9=1/45

连续2次抽到都是白球概率

• 第1次抽到黑球  c(1,8)/c(1,10) =8/10=4/5
• 第2次抽到黑球  c(1,7)/c(1,9) =7/9
• 连续2次抽到黑球概率   =4/5*7/9=28/45

连续2次抽到都是一黑一白

• 第1次抽到黑球第2次白  c(1,2)/c(1,10) *  c(1,8)/c(1,9)=  16/90
• 第1次抽到白球第2次黑  c(1,8)/c(1,10) *  c(1,2)/c(1,9)=  16/90
• 连续2次都是1黑1白     =16/90+16/90=32/90=16/45

因为连续2次抽球只有这4种情况，不关心次序的话可归纳为3种情况

• 黑黑
• 黑白
• 白黑（不关系次序的话，黑白+白黑=1黑1白）
• 白白
• p(黑黑)+p(1黑1白)+p(白白) =1
• 1/45+28/45+16/45 =45/45=1

2  伯努利概型  (伯努利试验) （重点是只划分为2种结果+多次试验概率稳定！！！）

2.1 定义

伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场。认为，或者（简化）认为一个随机试验只有两种结果

伯努利概型是一种基于独立重复试验，它的基本特征：

• 在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。
• 每次试验的结果只有两个：事件发生或不发生，或多种结果归纳为高度抽象为两种
• 每次试验中，相同事件发生的概率均一样。
• 各次重复试验的结果是相互独立，互不影响的。

2.2 伯努利试验与3种概率分布

• 1重伯努利试验 就是 0-1分布
• 只有最后1次成功的试验，符合几何分布
• n 重伯努利试验 就是二项分布     p=C(n,k)*p^k*(1-p)^n-k

2.3 优势

• 不要求具体的样本总量的具体 数量
• 只需要知道概率就行，但要求概率是稳定不变的（多次伯努利试验时）
• 还需要知道 抽样试验的次数，目标事件的次数

2.4 灵活的地方

• 可以灵活认识的地方：
• 虽然要求只有2种结果，但可以主观划分
• 比如{1，2...100}数字很多，可以划分为>10的和<=10的这两种情况，这样一次试验的结果，无论随到数字几，也只能是>10的和<=102种结果了。

2.5  局限性 和注意点

• 能不能用二项分布先判断，是不是符合N重伯努利试验，如果不符合就没戏
• 二项分布，伯努利试验，需要保证样本容量确定
• 且分布也要稳定，否则不能
• 要求概率是稳定不变的（多次伯努利试验时）
• 必须是放回抽样
• 如果是不放回抽样，

1. 要么认为样本极其大，忽略样本总量变化，概率变化不稳定的影响
2. 要么得用超几何分布

使用时注意点

• 需要严格认识的地方：
• N次试验，每次试验都稳定，样本总数和概率都稳定才能视为N重伯努利试验，才能用二项分布
• 也就是说，不放回抽样，一般不适合二项分布
• 因为小样本量前提下，不放回抽样会破坏第一次试验后的样本空间数和概率，发生变化！第2次试验无法和第1次相同了
• 如果样本量足够大，即使是不放会抽样，可以用二项分布近似

3 古典概型和伯努利概型

古典概型和伯努利概型，新手很容易弄混，以为是一回事，实际差别很大

3.1 有差别的地方

• 古典概型：主要强调的是，样本空间内的每种结果都是等可能的，p相等，一般是使用组合的方法计算事件数量，通过分子 / 分母，进而算出概率。也可以进行多次。
• 古典概型，允许总得样本空间变化--也就是概率变化，但只要还是相等就可以
• 伯努利试验：主要强调的是，每次试验只有/ 或只划分为 2种结果（对应一个只取值两个的随机变量），并不要求每种结果概率相同，可以重复多次试验。
• 伯努利试验要求2个结果，概率稳定不变，每次试验独立。但是这2个事件结果的概率可以不相等！
   

4  举例 

4.1   题目1：10个球，包含1个白球，9个黑球，求摸1次里面有白球的概率

古典概型的计算思路

p(x=a)=  C(1,1)  / C(10,1) = 1 / 10 = 1/10

如果用1重伯努利试验（01分布）的计算思路

P{X=k}=p^k*(1−p)^1−k  ，k=0,1 注意01分布k不代表次数，因为就1次，而是代表0,1两种结果

P{X=k}=0.1*1^1*(1-0.1)^(1−1) =0.1*1*1=0.1

如果用几何分布的计算思路

P{X=n} = p*(1−p)^(n−1) 其中 n是试验次数，最后1次成功

P{X=n} = p*(1−p)^(n−1) = 0.1*0.9^0=0.1

因为0-1分布，几何分布都是二项分布的特例，所以可以用前面两种分布来解决问题，也肯定可以用二项分布来算

如果用N重伯努利试验（二次分布）的计算思路

因为只做了1次试验,n=1, 而且第1次就抽中p对应的结果

p(x=a)= C(1,1) *(1/10)^1*(9/10)^0 =1* 1/10 =1/10

4.2 题目2：10个球，包含1个白球，9个黑球，求摸2次里面有白球的概率（放回）

定义：摸2次里面有白球，这个事件为a

4.2.1  古典概型的计算思路 （用组合数算)

因为试验次数超过1次，无法用01分布解决问题

因为不是最后1次才成功，无法用几何分布解决问题

伯努利试验，要求每次试验中，相同事件发生的概率均一样。这里已经假设球是放回的

存在4种情况

第1种：白黑

第2种，黑白

第3种，黑黑

第4种，白白（因为每次放回，有可能抽到2次白）

注意是放回了，每次都是从10个选

方法1：整体分析

白黑：c(1,10)*c(9,10) =9/100

黑白：c(9,10)*c(1,10) =9/100           ’错误的奇怪想法c(1/10)*c(1/1) =1/9;

黑黑：c(9,10)*c(9,10) =81/100         ’错误的奇怪想法c(1/9)*c(1/9) =1/81;c(9/10)*c(9/10) 

白白：c(1,10)*c(1,10) =1/100

p(黑黑)+p(黑白)+p(白黑)+p(白白)

=9/100+9/100+81/100+1/100=100/100=1

方法2：反过来算

第1次不是白球，是黑球： c(9,10)=9/10

第2次不是白球，是黑球： c(9,10)=9/10

2次都是黑球，=9/10*9/10=81/100

至少有1次是白球：1-81/100=19/100=0.19

方法3，正面计算

第1次是白球，白黑： c(1,10)*c(9,10) =9/100

第2次是白球，黑白：c(9,10)*c(1,10) =9/100

2次都是白球，白白,   c(1,10)*c(1,10) =1/100

至少有1次是白球：9/100+9/100+1/100=19/100=0.19

4.2.2 如果用二项分布的计算思路(用概率算)

效果是一样的

p(x=1) =c(2,1)*(0.9)^*1 * 0.1^1=0.18 

 '错误的c(10,1)*(0.9)^*9 * 0.1^1，只试验了2次，不是10次，10是样本总量算概率的，不是次数

p(x=2) =c(2,2)*(0.9)^*0 * 0.1^2=0.01

'错误的c(10,2)*(0.9)^*8 * 0.1^2

p(x>=1)=p(x=1)+p(x=2) =0.19

4.3 题目3：10个球，包含1个白球，9个黑球，求摸2次里面有白球的概率（不放回/或者一次拿2个球）

4.3.1 注意不放回的特征

• 不放回
• 等价于或者一次拿2个球也肯定是不放回的

定义：摸2次里面有白球，这个事件为a

因为试验次数超过1次，无法用01分布解决问题

因为不是最后1次才成功，无法用几何分布解决问题

古典概型的计算思路

只存在3种情况

第1种：白黑

第2种，黑白

第3种，黑黑

不存在第4种，白白，因为不放回了，总体里只有1个白色，不可能被抽2次

最大特征，每试验1次，样本总数变化1次

方法1：整体分析

白黑：c(1,10)*c(9,9) =9/90

黑白：c(9,10)*c(1,9) =9/90        

黑黑：c(9,10)*c(8,9) =72/90      

p(黑黑)+p(黑白)+p(白黑)

=9/90+9/90+72/90=90/90=1

方法2：反过来算

第1次不是白球，是黑球： c(9,10)=9/10   '错误的1/9

第2次不是白球，是黑球： c(8,9)=8/9      '错误的1/8

2次都是黑球，=9/10*8/9=72/90

至少有1次是白球：1-72/90=18/100=0.2

方法3，正面计算

第1次是白球，白黑： c(1,10)*c(1,9) =9/90

第2次是白球，黑白： c(1,10)*c(1,9) =9/90

2次都是白球，白白=0

至少有1次是白球：9/90+9/90=18/90=0.2

4.3.2 如果用二项分布的计算思路(用概率算)

• 不能
• 因为概率变化了

4.3.3 如果用超几何分布的计算思路(用概率算)

套用超几何分布公式

 总样本数N=10

 抽样次数 n=2

 特殊样品总数M =1

 目标测试特殊样品k=1 (最多只能=1，还可以=0，不可能=2)

c(N,n)=COMBIN(10,2)=45

c(M,k)=COMBIN(1,1)=1

c(N-M,n-k)=COMBIN(10-1,2-1)=9

p(x=1) =9/45=1/5=0.2

其他 下面是作废的内容（未整理）

如果用二项分布的计算思路

伯努利试验，要求每次试验中，相同事件发生的概率均一样。这里已经假设球是放回的

试验2次, n=2, 只有1次成功了（总共也只有1个白球）

p(x=a)=C(2,1)*(1/10)*(1/9)=2*1/10*1/9=？错误！

不能这样算，因为第1次和第2次试验，不是完全一样的情况（只有放回的情况才会完全一样）

第1次是（9+1）选1，第2次是（9+0）选1完全不是一样的

伯努利试验，要求每次试验中，相同事件发生的概率均一样。

错误的思路

试验2次, n=2, 只有1次成功了（总共也只有1个白球）

p(x=a)=C(2,1)*(1/10)*(1/9)=2*1/10*1/9=1/45   这是错误的！

不能这样算，因为第1次和第2次试验，不是完全一样的情况（只有放回的情况才会完全一样）

第1次是（9+1）选1，第2次是（9+0）选1完全不是一样的