LDA和PCA的对比(并没有公式推导，改日会写)

~~先补一补数学(不需要)：~~

方差——概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量；概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
期望——在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
协方差——在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况，只表示一个变量误差。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值，表示两个变量正相关。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值，表示两个变量负相关。如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。协方差为0表示两个变量是不相关的。

进入正题

LDA与PCA都是常用的降维技术。PCA主要是从特征的协方差角度，去找到比较好的投影方式，希望在所投影的维度上数据的方差尽量大。LDA更多的是考虑了标注，即希望投影后不同类别之间数据点尽量远离(距离尽量大)，同一类别的数据点尽量聚集(方差尽量小)。

先来看一下PCA对于数据的处理结果：

可以看到数据有红色(1)和蓝色(2)两类，PCA主成分分析找到的主轴PC1和次轴PC2

如上图所示，依照这两类的分布，PCA找到的第一个主轴PC1，所有数据点投影到该轴上是散的最开的，红蓝两类所有点的投影几乎遍布了整个PC1轴 (这时方差最大)。
如上图所示，PCA认为不重要的轴PC2 (次轴)，两类数据点投影到次轴上是最集中和密集的。

我们会发现PCA认为它找到的主轴要能够处理把多类(簇)分开的任务，这对应于无标签且事先不知道要分几类的无监督算法。而PCA认为不重要的次轴PC2，其实是对分类有帮助的，比如某个数据点属于哪一类的分类任务，这对应于有标签的监督算法。

再来看一下LDA的：

我们可以观察到LDA找到的第一个主轴LDA1(认为是对分类重要的轴)，各数据点投影到该轴上很集中(方差小)，并且LDA1轴正是PCA认为的不重要的轴，LDA找到的次轴是LDA2轴，可以看到LDA找到的两个轴不是正交的。

把LDA和PCA找到的主轴(两种算法认为最重要的轴)放在一起来看一下：

在这里插入图片描述

如上图所示，我们分别找到蓝色和红色数据样本的中心，然后把这两个中心分别投影在LDA1轴和PC1轴上，可以发现投影在LDA1轴上的两类样本中心点距离比投影到PC1轴上的两类样本中心点距离要远。
其实LDA将原样本映射到一个超平面上，使同一个类别在这个超平面上尽可能集中，而不同类别在这个超平面上尽可能分开。LDA1其实就是找到的超平面的一个法向量。
LDA认为不同类的样本服从均值不同的高斯分布，主要根据均值(中心点)作为降维的导向，所以它在处理非高斯分布的数据，或者不同类别的高斯分布的均值相同时，分类效果不够好。
PCA请参考这里

总结一下

LDA和PCA一样都是降维算法，但不同的是LDA是有监督的降维算法，它的目的是将不同类别的数据降维后仍能较好的区别开。而PCA是无监督的算法，它的目的是将样本数据降维后仍保留样本数据间的方差。

一些关于超平面补充(参考的博客)：

我们对“平面”概念的理解，一般是定义在三维空间中的，即Ax+By+Cz+d=0

这个平面由两个性质定义：1、方程是线性的，是由空间点的各分量的线性组合。2、方程数量是1。这个平面是建立在“三维”上的。如果我们撇开“维度”这个限制，那么就有了超平面的定义。实际上，超平面是纯粹的数学概念，不是物理概念，它是平面中的直线、空间中的平面的推广，只有当维度大于3，才称为“超”平面。它的本质是自由度比空间维度小1。

自由度的概念可以简单的理解为至少要给定多少个分量的值才能确定一个点. 例如, 三维空间里的(超)平面只要给定了(x,y,z)中任意两个分量, 剩下的一个的值就确定了. 先确定值的两个分量是自由的, 因为它们想取什么值就能取什么值;剩下的那个是"不自由的", 因为它的值已经由另外两确定了。二维空间里的超平面为一条直线。一维空间里超平面为数轴上的一个点。

百度百科上对超平面的数学定义是这样的：超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。因为是子空间，所以超平面一定过原点。

这篇讲超平面的博客也不错，点这里。