单调栈的性质

单调栈是一种特殊的栈，特殊之处在于栈内的元素都保持一个单调性。
假设下图是一个栈内元素的排列情况(单调递增的栈)：

此时插入情况有两种：
（1）插入元素大于栈顶元素：
因为7 > 6，满足栈内元素单调递增的性质，所以可以直接插入7到栈顶

（2）当插入元素小于栈顶元素的时候，当插入3的时候，需要将栈顶的6，4弹出，在插入，例如：

功能

利用单调栈可以找出从左/右遍历第一个比它小/大的元素的位置
例如说：
现在有一个数组a[4] = {5,7,3,4}，要你找出每一个元素左边最靠近它的最小元素的位置（下标+1），如果没有元素比它小，则输出0
此时我们会想到，从每一个数字开始想左边遍历，这是一个朴素的算法，我们就不再多说了。
我们要说的是怎么样利用单调栈来解决该问题
1.设计一个数组res[4]，来保存结果
2.开一个栈，这个栈的性质是，当栈为空的时候，将对应的res[i] = 0；当栈顶元素是从左开始，输入的数中最小的那个的下标，如果进栈的元素小于或者等于a[栈顶元素]，则输出0；如果大于，则输出栈顶元素+1。

下面上代码:

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;int main() {//n表示要找的总数int n; cin >> n;//a用来保存输入的数据int* a = new int[n];//res_left用来保存对应的结果int* res_left = new int[n];stack<int>s;for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];//找出a[i]左边和右边最近的一个比他小的值的下标for (int i = 0; i < n; i++) {while (!s.empty() && a[i] <= a[s.top()])s.pop();if (s.empty())res_left[i] = 0;else res_left[i] = s.top() + 1;s.push(i);}//这个栈就是递减的一个，取最小值的时候，复杂度是O（1）for (int i = 0; i < n; i++) {cout << res_left[i] << " ";}
}
输入数据: 6
4 7 8 5 3 1
输出数据:
0 1 2 1 0 0

当然这是一个简单的小应用

例题1：

题目背景：
高个子同学可以看到身高比自己矮的同学，但是目光一旦遇到高于或等于自己的同学后，便无法继续向前看。先给出所有同学的身高，求所有同学能看到的同学数量之和。
可能不和逻辑…
输入格式：
第一行一个n，表示总共有多少名同学
接下来输入n个数字，表示从后到前的同学的身高
输出格式
一个数字，同学们能看到的同学的总数

解题思路：
1.朴素的算法：先读入数据，然后从最后一名开始向前遍历，遇到小于自己身高的就加1，遇到大于等于自己身高的就停止，时间复杂度应该是O(n*logn)
2.利用单调栈：每读入一个数据，就判断前面有多少名同学能看到他，个子高的能看到个子矮的，所以这应该是递减的栈，时间复杂度是O(n)

代码实现:

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;int main() {int n; cin >> n;int sum = 0;//开一个栈，单调递减，对于栈顶元素而言，能看到他的就是后面元素的个数stack<int>s;for (int i = 0; i < n; i++) {int temp;cin >> temp;//当输入的人较高时，将较矮的人剔除栈while (!s.empty() && temp >= s.top())s.pop();sum += s.size();s.push(temp);}cout << sum << endl;return 0;
}
输入数据:6
188 169 180 172 190 165
输出数据:
5

例题2：

输入格式：
一个整数n，表示总共有n个宽度为1的矩形块
n个整数，表示每一个矩形块的高度，按照输入的顺序，排列相应高度的矩形块
输出格式：
一个整数，表示这些矩形块能够构成的最大矩形块。

仔细观察可知，这个矩形一定以某一个输入的矩阵高度为高度
解题思路：
1：常规思路，将这些高度保存起来，用一个数组；然后对数组进行遍历，对每一个数字进行的操作是，向左右找，直到碰到高度小于自己高度或者是到边界的时候，算一下总共的矩阵块数，再乘以高度。这样每一个输入的矩阵都对应一个以他为高度形成的最大矩阵，然后取最大值就行。但是这个算法的最坏情况是O（N*2）显然是一个很大的数据，这个属于朴素算法

2.利用单调栈：这里就不多bb，直接上代码，代码上面有注释

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;//这个节点用来保存该矩阵的高度，能触及的最边缘的下标
class Node {
public:int val, left, right;
};
//这是一个根据矩阵高度排列的递增栈
stack<Node>s;
//为什么要设计一个递增的栈：因为遇到高度小的就需要停止扩展边界
int main() {int n; cin >> n;Node* node = new Node[n + 5];//初始化for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> node[i].val;node[i].left = node[i].right = i;}long long int area = 0;//为了当栈内还剩余元素的时候，不需要单开逻辑判断//简单的说就是为了清空栈内元素node[n + 1].val = -1;node[n + 1].left = node[n + 1].right = n + 1;for (int i = 0; i < n + 1; i++) {//由于这是一个递增的栈，当要压入的元素小于栈顶元素的时候while (!s.empty() && node[i].val <= s.top().val){Node newnode = s.top();s.pop();//说明将要压入的矩阵可以向左边拓展node[i].left = newnode.left;//如果删除栈顶元素之后还有元素，那么栈顶元素可以向右拓展if (!s.empty()) {s.top().right = newnode.right;}//弹出每一个矩阵的时候，计算该矩阵能形成的最大矩阵的面积long long int val = ((long long)newnode.right - newnode.left + 1) * (long long)newnode.val;if (val > area)area = val;}s.push(node[i]);}cout << area << endl;
}
输入数据:6
2 1 5 6 2 3
输出数据:
10