本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。

单变量函数的极限

极限的定义

普通极限

$$L=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

左极限

$$L=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$$

右极限

$$L=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

matlab实现方法

L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限

应用举例

1. 求解极限：$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}$$

syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)

2. 求解极限： $$L=\underset{x\to \infty }{\lim }x(1+\frac{a}{x}{)}^{x}sin\frac{b}{x}$$

syms x a b
f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)  
L = limit(f, x, inf)

3. 求解单边极限：
   

syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')

用下面的语句还可以绘制出$(-0.1,0.1)$区间的函数曲线。

x0=-0.1:0.001:0.1; 
y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')

函数曲线如下：

可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)

4. 求函数 $tant$ 在 $\pi /2$ 点处的左右极限。

syms t; f=tan(t); 
L1=limit(f,t,pi/2,'left')
L2=limit(f,t,pi/2,'right') 

5. 求下面序列的极限
   

syms n positive
f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
F = limit(f,n,inf)

6. 求下面序列函数的极限
   

syms x n
f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n; 
F = limit(f,n,inf)

多变量函数的极限

matlab实现方法

多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

• 假设有二元函数$f(x,y)$， 若想求出二元函数的累极限
  

则可以嵌套使用limit()函数。例如:

L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)

如果$x_0$或$y_0$不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如$x\to g(y)$， 则上述的极限求取顺序不能交换。

• 假设有二元函数$f(x,y)$， 若想求出二元函数的重极限

$$L=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

应用举例

1. 试求出二元函数极限值
   

syms x a;  syms y positive;
f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)

2. 重极限的尝试 ，求解重极限

syms x y; 
f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2); 
L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)

3. 判断重极限是否存在
   

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿$y=kx$趋近。

syms r x y
f=x*y/(x^2+y^2); 
L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)