线性时不变系统描述

连续系统：
连续系统由线性常系数微分方程描述

特性：
输入为x(t),输出y(t)
则，输入为x(t)的线性变化，积分，微分时，输出也对应的变化。

离散系统：
一般使用 线性常系数差分方程描述

利用离散系统可以也进行滤波等处理
特性：
具有差分特性 、 求和特性

LTI响应的时域分析

求响应目的：建立起输入输出系统之间的关系。
求响应的方法：

1. 求解微分方程（纯数学）（局限性）
2. 求解零输入响应和零状态响应（重点介绍）

求解微分方程的方法

先求特解，再通过输入求通解（包括通解的系数，也要通过把通解带入方程的方法求出来），再通过初值求C。

缺点：如果输入/初始条件 发生变化，需要重新求解，而且只能求解输入比较简单时的响应

通过零输入响应和零状态响应

完全响应 = 零输入响应zi+零状态响应zs

零输入响应就是微分方程右边为 0

零状态响应求法:

1. 将输入信号表示为 单位冲激信号的线性组合
2. 求出单位冲激信号的冲激响应h(t)
3. 求零状态响应yzs(t)

可以推导出以下公式：
yzs(t) = x(t) * h(t) //卷积

零输入响应的求解

1. 求微分方程特征
2. 求零输入响应形式
3. 将初始状态代入

系统的冲激响应求解

系统在初始状态为0的条件下，冲激信号δ(t)输入系统的响应，表示为h(t)。
求法：
把微分方程中的输入替换为δ(t)，输出替换为h(t).

零状态响应

h(t)是一个信号，可以用来描述系统，冲激响应只和系统有关，是一个描述系统时域特性的函数，注意这种描述方法。
yzs(t) = x(t) * h(t)=∫x(T)h(t-T)dT //卷积
这个公式把输入输出系统联系了起来

卷积怎么求：
方法1：解析法（要求知道两个函数的表达式）
例题：

方法2： 图形法
将其中一个函数翻转，从左到右平移，每平移到一个新阶段，计算积分

卷积的结果是一个新的信号，卷积的起点等于两个信号的起点之和，终点时两个信号终点之和。

两个矩形做卷积，结果时等腰梯形，上底为差，下第为和。
方法3： 利用性质
卷积的性质：
交换律：交换
分配律：展开相加
结合律：后面的先乘也可以
等效特性：两个函数分别卷积和积分，得到的结果不变
平移特性：
x(t)*δ(t-T) = x(t-T)
x1(t-t1) * x2(t-t2) = y(t-t1-t2)
微分特性：和δ(t)的微分做卷积，结果是函数的微分
积分特性：和u(t)做卷积，结果是函数的积分

冲激响应表示系统的特性

冲激响应有两层含义：

1. 一个冲击信号作用于系统后，系统的输出
2. 对系统的描述

系统级联/并联

级联：前一个系统的输出，是下一个系统的输入。

y(t) = x(t) * h1(t) * h2(t)
并联：
y(t) = x(t) * （h1(t) +h2(t)）

判断系统因果性

因果系统: 输出之后于输入。

一个线性时不变系统，如果h(t) =0，t< 0，就是因果系统。
（因为卷积的性质：卷积结果的起点时两个函数的起点之和，其中一个起点大于0，那么和肯定大于输入。）

判断系统稳定系统

定义: 对任意的有界输入，输出也有界，就是稳定系统。

连续LTI系统，稳定的充分必要条件：
∫|h(t)|dt = S <+∞
有了冲激响应，就可以分析系统的特性了。