机器学习算法原理与实践（二）、meanshift算法图解以及在图像聚类、目标跟踪中的应用

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最近在关注跟踪这一块的算法，对于meanshift的了解也是来自论文和博客，本博客将对meanshift算法进行总结，包括meanshift算法原理以及公式推导，图解，图像聚类，目标跟踪中的应用以及优缺点总结。

算法原理

meanshift算法其实通过名字就可以看到该算法的核心，mean（均值），shift（偏移），简单的说，也就是有一个点 $x$ ,它的周围有很多个点 $x_i$ 我们计算点 $x$ 移动到每个点 $x_i$ 所需要的偏移量之和，求平均，就得到平均偏移量，（该偏移量的方向是周围点分布密集的方向）该偏移量是包含大小和方向的。然后点 $x$ 就往平均偏移量方向移动，再以此为新的起点不断迭代直到满足一定条件结束。

图解如下:

中心点就是我们上面所说的 $x$ 周围的小红点就是 $x_i$ 黄色的箭头就是我们求解得到的平均偏移向量。那么图中“大圆圈”是什么东西呢？我们上面所说的周围的点 $x_i$ 周围是个什么概念？总的有个东西来限制一下吧。那个“圆圈”就是我们的限制条件，或者说在图像处理中，就是我们搜索迭代时的窗口大小。不过在opencv中，我们一般用的是矩形窗口，而且是图像，2维的。这里其实不是圆，而是一个高维的球。

步骤1、首先设定起始点 $x$ ，我们说了，是球，所以有半径 $h$ ，所有在球内的点就是 $x_i$ , 黑色箭头就是我们计算出来的向量 $\quad\overrightarrow{xx_i}$ , 将所有的向量 $\quad\overrightarrow{xx_i}$ 进行求和计算平均就得到我们的meanshift 向量，也就是图中黄色的向量。

接着，再以meanshift向量的重点为圆心，再做一个高维的球，如下图所示，重复上面的步骤，最终就可以收敛到点的分布中密度最大的地方

最终结果如下：

数学推导

给定d维空间Rd的n个样本点 ,i=1,…,n,在空间中任选一点x，那么 meanshift 向量的基本定义如下：

$M_h=1/K \sum_{{x_i}{S_k}}(x_i-x)$

其中 $S_k$ 是一个半径为 $h$ 的高维度区域。定义如下：

$S_h(x)=\{y:(y-x_i)_T(y-x_xi)< h^2 \}$

$k$ 表示在这n个样本点xi中,有k个点落入 $S_k$ 区域中.
然后，我们对meanshift向量进行升级，加入核函数（比如高斯核），则meanshift算法变为:

$f_{h,K(x)}=c_{k,d}/nh^d \sum_{i=1}^n k(||(x-x_i)/h||^2)$

解释一下K()核函数，h为半径， $c_{k,d}/nh^d$ 为单位密度，要使得上式f得到最大，最容易想到的就是对上式进行求导，的确meanshift就是对上式进行求导.

令 $g(x)=-k'(x)$ , 则我们可以得到：

由于我们使用的是高斯核，所以第一项等于 $f_{h,k}$

第二项就相当于一个meanshift向量的式子:

则上述公式可以表示为：

图解公式的结构如下：

当然，我们求得meanshift向量的时候，其密度最大的地方也就是极值点的地方，此时梯度为0，也就是
$\triangledown f_{h,k}(x) = 0$ ,当且仅当 $m_{h,G}(x)=0$ 的时候成立，此时我们就可以得到新的原点坐标：

以上就是公式推导，建议看懂走一遍。参考自
http://www.cnblogs.com/liqizhou/archive/2012/05/12/2497220.html

实际项目中，meanshift的算法流程是：

1、选取中心点 $x$ ，以半径 $h$ 做一个高维球（如果我们是在图像或者视频处理中，则是2维的窗口，不限定是球，可以是矩形），标记所有落入窗口内的点为 $x_i$
2、计算 $m_{h,G}(x)$ ，如果 $m_{h,G}(x)$ 的值小于阈值或者是迭代次数到达某个阈值，则停止算法，否则利用上面求圆心 $x$ 的公式更新圆点，继续步骤1

meanshift在图像处理中的聚类，跟踪中的应用

上面我们可看到，meanshift 算法每一步其实都是往密度最大的方向走，空间中的点的分布的密度刚好就可以运用到meanshift算法中，而一幅图像都是由密密麻麻的像素点组成，怎么利用密度分布的不一致来进行聚类呢？

首先我们想到的依旧是距离，距离越近，越有可能被分到同一类中。因此我们利用点的概率密度，也就是

离圆点 $x$ 越近的像素点的，定义其概率密度越高

然后我们又可以想到，分到同一类的颜色一般都是比较接近的，所以再定义颜色概率密度：

与圆点 $x$ 颜色越相似的点的概率越高

然后，每个点的概率密度分布可以由一下公式得到：

其中：这里写图片描述代表空间位置的信息，离远点越近，其值就越大，表示颜色信息，颜色越相似，其值越大。

接下来就可以运 meanshift 算法进行聚类。

meanshift算法目标跟踪

在opencv中已经有库函数可以调用了：

int cvMeanShift(const CvArr* prob_image,CvRect window,CvTermCriteria criteria,CvConnectedComp* comp );

查看API可以知道，调用该函数时，需要输入的图像是反向投影图，什么是反向投影图，简单介绍一下：

图像的反向投影图是用输入图像的某一位置上像素值（多维或灰度）对应在直方图的一个bin上的值来代替该像素值，所以得到的反向投影图是单通的。用统计学术语，输出图像象素点的值是观测数组在某个分布（直方图）下的概率。
不懂？用例子说明一下：

(1)例如灰度图像如下

Image=

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

8 9 14 15

(2)该灰度图的直方图为（bin指定的区间为[0,3)，[4,7)，[8,11)，[12,16)）

Histogram=

4 4 6 2

(3)反向投影图

Back_Projection=

4 4 4 4

6 6 6 6

6 6 2 2

例如位置(0,0)上的像素值为0，对应的bin为[0,3)，所以反向直方图在该位置上的值这个bin的值4。

这下懂了吧，其实就是一张图像的像素密度分布图，而我们的meanshift算法本身就是依靠密度分布进行工作的，找到密度分布最大的地方。所以就很容易理解这个输入参数了。

半自动跟踪思路：输入视频，用画笔圈出要跟踪的目标，然后对物体跟踪。

用过opencv的都知道，这其实是camshiftdemo的工作过程。

第一步：选中物体，记录你输入的方框和物体。
第二步：求出视频中有关物体的反向投影图。
第三步：根据反向投影图和输入的方框进行meanshift迭代，由于它是向重心移动，即向反向投影图中概率大的地方移动，所以始终会移动到目标上。
第四步：然后下一帧图像时用上一帧输出的方框来迭代即可。

全自动跟踪思路：输入视频，对运动物体进行跟踪。

第一步：运用运动检测算法将运动的物体与背景分割开来。
第二步：提取运动物体的轮廓，并从原图中获取运动图像的信息。
第三步：对这个信息进行反向投影，获取反向投影图。
第四步：根据反向投影图和物体的轮廓（也就是输入的方框）进行meanshift迭代，由于它是向重心移动，即向反向投影图中概率大的地方移动，所以始终会移动到物体上。
第五步：然后下一帧图像时用上一帧输出的方框来迭代即可。