Random Walk Model

1 模型及性质简介

给定一随机变量 u ( i ) = { 1 , − 1 } u(i)={\{1, -1\}} u(i)={1,−1}
随机游走模型可表示为随时间$t$变化的函数$$y(t)=\sum _{i=1}^{t}u(i)$$
几条随机游走可视化路线如下
性质一： $⟨y(t)⟩=0$，即$y(t)$在$t$时刻均值为0
性质二： $⟨y^2(t)⟩=t$，即$y(t)$在$t$时刻方差为t，标准差与$\sqrt{t}$成正比
性质二证明如下：
$$⟨y^2(t)⟩=⟨(\sum _{i=1}^{t}u(i){)}^2⟩=⟨\sum _{i=1}^t\sum _{j=1}^t(u(i)u(j))⟩=\sum _{i=1}^t\sum _{j=1}^t⟨u(i)u(j)⟩=t$$
$⟨u(i)u(j)⟩=0$ for $i\ne j$
$⟨u(i)u(j)⟩=1$ for $i=j$