基础线性代数知识点总结与回顾（二）：秩与线性相关
骨骼图
秩
矩阵的秩： 若矩阵的r阶子式不为0，r+1阶子式全为0，则称矩阵的秩为r。
定理：经过初等变换，矩阵的秩不变。
推论
秩的性质：
定理： n元齐次线性方程组 AX=0有非零解等价于r(A)<n。
定理： 矩阵方程 AX=B有非解等价于r(A)=r(A,B) (A和B拼起来)
有解判定：
n元线性方程AX=b:
- 无解：
- 唯一解：
- ∞解：
线性相关
重要定理： 若向量组b1,b2,b3…bt可以由向量组a1,a2,a3…ar线性表示，则：
若向量组b1,b2,b3…bt可以由向量组a1,a2,a3…ar线性表示，且t>r,则b1,b2,b3…bt必线性相关。
若向量组A和向量组B等价，则r(A)=r(B)=r(A,B)。
等价：若向量组A和向量组B可以相互线性表示，则向量组A等价于向量组B。
n个n维向量a1,a2,…,an线性相关，等价于｜a1 a2 … an｜=0
n+1个n维向量必线性相关。
几何意义
- a线性相关 等价于 a=0
- a1,a2线性相关 等价于 a1、a2共线
- a1,a2,a3线性相关 等价于 a1、a2、a3共面
向量的秩：向量组的极大线性无关组中所含的个数r称为向量的秩。
矩阵的秩=矩阵行向量的秩=矩阵列向量的秩
如果齐次方程组的系数矩阵的秩r<n，则齐次方程组有n-r个线性无关的解，且任意一个解都可以由n-r个线性无关的解线性表示。
因此非齐次方程组（r<n）的解为通解+特解。
