基础线性代数知识点总结与回顾（四）：线性空间
骨骼图：
#其实，线性空间是向量空间内容的扩展。
首先我把向量空间的内容截图搬过来，便于你们的比较与对照。
线性空间
设V是实数域k上的线性空间，W是V的非空子集，如果W对V中定义的加法和数乘运算都封闭，则称W是V的子空间。
对比向量空间的子空间概念发现，n维向量空间被替换为线性空间V。
设V是线性空间，如果V中存在n个线性无关的向量，而任意n+1个向量都线性相关，则称线性空间V是n维线性空间，而这n个线性无关的向量称为线性空间V的一组基。
设
是线性空间
的一组基，
有：
则称，x1,x2,…,xn为向量
在基
下的坐标。
我们知道，一个秩为r的n维矩阵，它有r个线性无关的向量，但是这r个向量组的组成不唯一，但它们都称为基，这就引出来了基变换引发的坐标变换的内容。
过渡矩阵
设
与
是三维线性空间的两组基。若：
称，C是由基到基
的过渡矩阵。
若r在基下的坐标为
。
r在基下的坐标为
。
则X=CY：
线性变换
设M和N是两个非空集合，如果给定一个法则
，使得M中的每一个元素 
都有N中的一个确定元素
与它对应，则是集合M到N的一个映射。
是线性空间V的一个变换，如果对加法和数乘都封闭，则称是线性空间V上的线性变换。
线性变换保持向量的线性组合关系不变。 也就是说，线性变换将线性相关的向量组映射成线性相关的向量组。即：如果线性相关，则：
线性相关。
线性变换的矩阵表示：
如果：
记：
称
为线性变换在基下的矩阵。
线性空间中有两组基：和
，基到基的过渡矩阵为C，线性空间中线性变换在这两组基下的矩阵依次为A和B，则
。
